IV. — L'intégrale de Poisson. — Représentation approchée

des fonctions.

19. Nous terminerons ce Chapitre en faisant l'étude d'une intégrale célèbre, considérée par Poisson, et qui se rattache étroitement à la théorie des séries trigonométriques.

Soit y*('f ) une fonction développable entre o et 2:1 en série de Fourier,

/(o) =— -+- ai coso -I- ^1 sino -h. . .-T- a^ cos/n^ -^ b^sinmo -i-. . ..

Envisageons la série ordonnée suivant les puissances croissantes de /*,

~ -h r( ^1 cos o -»- Al sin cp ) -h . . . -i- /'" ( a,n cos m ^ 4- h,n sin /« :p )-»-... .

qui est convergente pour r^i. ^-ous (liions montrer qiC on peut la mettre sous la forme d^une intégrale définie. Formons, en eO'et, l'intégrale

Il est facile de la développer suivant les puissances croissantes

de /• : nous retomberons sur la série qui précède, l^artons de la

formule

I — 2 r cos -+- /•* I — re'^ i — re-^^ *

on a

r = I -h re^ -h ...-+- r« e^*^ -\ ^-—

1 — re*^ i — re"'

et une identité analogue en changeant / en — /. On aura donc