î = iH- a > r" cosAi(ô

SÉRIES TRIGO.NOMÉTRIQUFS. 249

Substiluaiit dans Tinlé^rale I et remarquant que le reste tend vers zéro, puisque /• est plus petit que Tunité, on obtient la relation

If r' 90

I - -'- f fi, \ ) d'\ - ;i 2 '•" f /' -^ ) '^••* '"•}'-?) ''•>

♦»l, enfin,

nrr 1

«*n posant

ft„=: -^ I fi 'l ) cos n '\i (l'i^y ^n ~ Z I /^ 4^) sin /l 'b c/'^.

iK /Ȕ7r

C'est bien le développement que nous avons écrit plus baut; il n'est valable, a priori, que pour /* < i , de sorte qu'on ne peut en <iéduire la série de Fourier, comme nous le verrons d'ailleurs plus ^n détail au § 2i.

20. L'intégrale I est une fonction de r et de '^, (|u'on peut consi- <lérer comme fonction des coordonnées polaires. Nous avons supposé /••< I ; le point (r, ç) restera donc à l'intérieur du cercle de rayon un. Quand ce point se rapproche d^un point de la circonférence C de ce cercle, ^intégrale tend-elle vers une limite?

La réponse n'est pas immédiate, car une circonstance singulière se présente. Puisque r tend vers un, tous les éléments de l'intégrale tendent vers zéro, sauf un seul correspondant à r = i , •! = tp, pour lequel il y a indétermination. On ne voit donc pas de suite ce que devient l'intégrale. Au surplus, nous avons déjà rencontré un exemple de cette nature quand nous avons traite le problème de Dirichlet pour le cas d'une sphère (Cliap. VI, Section II). L'intégrale que nous avons alors obtenue est entièrement analogue à l'intégrale de Poisson qui nous occupe maintenant.

Le développement en sérir», suivant les puissances croissantes der, donne, sinon une réponse entièrement satisfaisante, du moins une indication sur la solution. Quand r tend vers l'unité, o restant constant, la série (i(3) tend vers/(^). On sait, en eflct, puisqu'on a supposé que /{'^) est développable en série de Fourier, que cette série est convergente pour r = i et représente /{^)j il suffit alors

25o ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

de se reporter au lliéorèinc d'Abel sur les séries enlit-res pour t conclure que la liniile de la série (i()), pour r = i < est égale ^ f{z Ce mode de raisonnement a l'inconvénienl grave de nous obliger faire tendre le point (/*, '^) vers le point (i , ç>) de la circonférence en suivant le rayon qui passe parce point. Nous allons suivre, av< M. Schwarz (*), une lout autre marche en étudiant direcleme rintégrale i ; cette méthode aura de plus l'avantage de ne p nous obliger à supposer que /(A) est développableen série Irig nométrique.

21. Considérons d'abord le cas où la fonction /('}), étant toi jours continue et admettant la période 2-, peut être considér comme une fonction continue et bien déterminée de la positi< d'un point sur la circonférence C.

Nous avons besoin, pour faire cette étude, de la valeur de Tint grale I pour /(•!;) z^ i. Elle se calcule immédiatement : la fon tion sous le signe d'intégration est une fonction rationnelle < cos(^ — '^), et rintégrale indéfinie est l'expression k déterminati< multiple

I / I +- r iL — o \ - arc lanpr ( - tan*? ]\

appliquant la règle donnée précédemment à ce sujet (Chap. 1, § 6 on trouve que la valeur de I, pour r <^\^ est égale à -h i .

Cela posé, désignons par A un point (/*, '^) pris à rintérieur k la circonférence C de centre O, et soit Mo un point fixe (i, ço) s cette circonférence. 11 s'agit de trouver la limite vers laquelle tei l'intégrale I correspondant au point (r, o) quand ce point se ra| proche du point (i, «po)cii suivant une direction quelconque. L'i tégrale I peut s'écrire

1 = — r[/(oo)-h A^')— /i«o)i - ' ,'' - ^^^^^

intégrale étendue à la circonférence, c'est-à-dire l'intégration éta

C) Voir deux Mémoires de M. Scinvarz : l.'eber die Intégration der parti len Differenlialgleichuni^ Am -- o fitr die Fliiclic cincs A'reises ( Gesamme maihematische Abkandlungen, zweiter liand).

faile entre deux valeurs de i dlirérenles de 'jlt.. Par suile, on aura

Or, la fonction y(4) étant continue, on peut trouver une quantité positive 2 telle que, sur tout arc de la circonférence C inférieur à 2 0, Toscillation de la fonction soit inférieure à une quantité positive e, donnée à l'avance, aussi petite qu'on voudra. On aura donc

pourvu que l'arc qui sépare le j)oinl (i, i) du point (i, 'fo) soit inférieur à 0, et cela d'ailleurs quelle que soit la position du point M„ sur la circonférence C; oétantainsi fixé va reslerconslanl. D'autre part, le point A, en se rapprochant du point Mq, restera, à partir d'une certaine valeur de cp, à l'iutérieur de l'angle au centre, correspondant à l'arc 2 0, avant Mo pour milieu. Désignons par A< le point où le rajon prolongé OA rencontre la circonférence C et prenons de part et d'antre de \x un arc égal à o. Soient s Tare égal à 20 ainsi formé, lequel contient le ])oint Mo, et S le reste de la circonférence. Nous partagerons l'intégrale qui figure dans l en deux parties : l'une relative à 5, Taulre à S. La valeur absolue de la première sera moindre, quel que soil /*, (|ue

IT.I I — ;ircos(<L — O) r- ^ ' 'it, j.^ i— ;>/-cos(6 — q> -/- ^

Passons à la seconde intégrale. On a, pour l'are S,