I--2/*COS(^ — O) -/•-r'>'2/- — -îrCOSO — A/M I -COSO

et, si g désigne le maximum de | /('{') | ? on voit que la seconde intégrale aura une valeur absolue moindre qu<'

/•( I — COSO )

Cette quantité tend vers zéro quand /• se rapproche de l'unité; remarquons d'ailleurs qu'elle est indépendanlt» de la position du point Mo sur C.

Ainsi donc, étant donné le point Mq sur la circonférence C et

une quantité r^ fixe, mais aussi petite que l'on veut, on peut tracer, (le part et d'autre de Mo, un arc de longueur o tel que, le point A restant à l'intérieur de l'angle au centre correspondant à cet arc '20 et étant suffisamment rapproché de la circonférence, la valeur de l'intégrale correspondante diffère de/('^o) de moins de r^ : c'est dire que l'intégrale I, correspondant au point (r, ç), tend vers /(?o) quand ce point se rapproche d'une manière quelconque du point (i, '^o) ^^ la circonférence G (en restant intérieur à celte circonférence).

^2. Il ne sera pas sans intérêt d'étudier maintenant le cas où la fonction /{^) n'est pas partout continue, mais présente pour certaines valeurs isolées de 'l des discontinuités du genre de celles qui ont été étudiées dans la théorie des séries trigonométriques.

Nous supposerons donc que, pour une certaine valeur ^o^ 'a fonction /('f ) ail, de part et d'autre du point correspondant, des valeurs limites différentes. Vers quelle valeur tendra l'intégrale I quand le point (r, cp) tendra vers le point (i,«po)?

Pour traiter cette question, prenons d'abord un exemple particulier : si l'on fait /(^) = ^y on se trouve bien, sur la circonférence C, dans le cas indiqué; on peut, en effet, considérer qu'on a, sur cette circonférence, une succession de valeurs données par la loi précédente en faisant varier «^ entre o et 2 7r. Pour ^ = o et •]^ = air, on obtient la même position Mq, et la différence des valeurs limites de la fonction, de part et d'autre de Mq, est visiblement égale à 2 7r. Formons, pour ce cas particulier, l'intégrale I,

L / .|, L.!^ ^^ cl^.

Sa valeur est facile à calculer au moyen d'un développement en série, ordonné suivant les puissances croissantes de r. Les coefficients du développement

-f- > /••'(a„cos/icp-+- £»« sinno), /•<!, dans lequel

SÉRIES TIUG0N0\1ÉTRIQUES. 253

sont ici

«0 = "i", an —0 ( n ■■'■ 1 ), ba =^ •

On a donc le développement

Pour calculer

prenons sa dérivée par rapport à /•, qui esl

/i - 1 Or cette série est égale au coefficient de i -^ ^ — i dans

On aura, par suite.

> /'/i-i sin/i^ =

I — arcostp -h /•*

et, en intégrant,

r* «in/io r sino

arc tang ^ — ,

I — /'COSO

^ /'' «ir ^ Il

Tare tangente, dans le second membre, étant l'arc compris entre — et -f- -'i qui s'annule pour r = o. Nous avons donc

•'^ - -' rsmo

/ 4/ T-j ^ -e/<}; = t: — 9. arc tang

L'arc tangente qui ligure dans cette formule est susceptible d'une représentation géométrique très simple. Soient la circonférence C

de rajon un et Mo le point correspondant à 'i = o, situé sur OX

•2.54 ÉQUATION DR l.kPLKCE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

(./'©• ' î)' '^ ^*tanl le point (r, '^), on aura

arclanp;- - * — — angle (OMo A),

cet angle étant compris entre — ~ el - ''• On a donc, en appelant a cet angle.

comme valeur de Tintégrale. Quand le point A se rapproche de Mo, la valeur limite de cette intégrale dépend de la direction suivant

Il , /

laquelle A se rapproche de Mo; cette valeur limite peut prendre toutes les valeurs entre o et 9,7: qui répondent aux valeurs extrêmes