j(__|)/i / 1 %\naxdx

(') Dans la théorie des séries trigonométriqucs, nous avons supposé la fonct.ion/(;r) définie dans l'inlervalle (o, ax); le développement en série procédait ^lors suivant les sinus et cosinus des niulti|des dr x. Si la fonction /(^) est dé' Hnie dans l'intervalle (o, <*>), le dév<'loppeiuent procédera suivant les sinus et

Cosinus de —- — » comme on le voit de suite en faisant le clianpement de variable

ÀT.X X - »

<lui transforme Tintervalle (o, a>; en l'intervalle (o, tT.).

si Ton remarque que

sinaxe-"^ dx =

Or il est aisé de voir que le reste

s'inax dx

tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment. La valeur absolu de cette intégrale est moindre en effet que

g~{n-^l)x dx —

On aura, par conséquent,

Je e^ , I V . X a' : —ç.o%axdx= — h > (— i)" — i i

Or on a l'identité

/l=:ao

On en conclut

Le développement cherché est, par suite,

f(x)=i ! > -— cosax

où Ton a

(') Cette formule résulte du développement

/n=:aB

\ïiz ' z " ^^ z* — m* t:'

( Toir, par exemple, Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. 284.)

SÊIIIES MULTIPLES. 479

II. Revenons niainlenant à la fonclion de deux \arial)les J(x,^' ), pour la développer en série trigononiélrique. Cettt^ fonclion satis- Taisant à la relation

son développement sera évidemment de la forme

> >, A^,„ cos -^ <os —S - -r- B,,,« siii -^^ sin ' , *^ .

jê^jh^ ^ ' (o u> ' ' eu (I)

(Calculons d'abord A,,,^. On a

<|ui se transforme de suite en

i r"^* r""* e'^-'^y r^'-^*>'J •inr,.r xnr.Y ,

^ (I - e'J^'py )^

Posons

ix - 3^ " 1/.

d'où se tirent