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•.>.8o ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVFXOPPEMENTS K>' SÉRIES.

La partie relative aux sinus disparaît dans rinlégralion. Il reste une somme de deux intéj^rales doul)les ; ehaeune d'elles est un produit de deux intégrales simples rentrant dans le type correspondant à une seule variable. Toute réduction laite, on a

en posant

ap — a p \ eo o) / ap — 2 p \ o) w /

a^'^ a'ft \ o)

tu / ajj — 2t p \ w w /

Le second coefficient Hy,,^ s'obtient par un calcul tout semblable : on a seulement, entre parcntbcses, une différence au lieu d'une somme. On trouve ainsi

Tel est ce développement en série trigonométrique : il présente, comme on voit, quelque analogie avec le développement en série trigonométrique de la fonction elliptique considérée plus liant et il peut être regardé comme en étant, à un certain point de vue, Mme extension au cas de deux variables.