III. — Exemple de séries multiples où les entiers

ne sont pas arbitraires.

12. Dans les séries multiples dont nous nous sommes occupé jusqu'ici, les nombres entiers, dont dépendait le terme général de la série, étaient arbitraires et prenaient toutes les valeurs entre — x et -f- oc. Il en sera souvent autrement; je vais en indiquer un exemple ('). Parlons de la forme quadratique ternaire

(*) loir mon Mémoire : Sur une classe de fj^roupes discontinus de substitulions linéaires { Acta math., l. I ).

Je considère les substitutions à coefficients entiers

ç^ MsU-^rîV-i-RsW, w = M^UH-PaV-T-RiW

C|ui transforment la forme en elle-même, c'est-ù-<lire telles que l'on ait identiquement

ui-^çi— wi :-r u*H- V»— W*:

on aura les relations

Ml H, -4- M j Ri- MaRjr^o.

P,R,-:- PjRj- l'aRs^o.

Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire les neuf entiers (M, P, R). En tenant compte rie ces relations, les formules de substitution se résolvent immédiatement par rapport à U. V et W ; on trouve ainsi

U= MjM-T-Mîi^— Mjw.

V= PiM-t- 1\Ç P3IV.

W = — R,;f — Rji^— Rjii-,

d'où l'on conclut que le système (7) est entièrement i*quival<»nt au suivant

Mî— PJ- Rjrr:l.

M,Mî- P,Pi- R,Rî=..o.

Mi-M,— l'jPj RjRj^o.

Il y a une infinité de nombres entiers /'M, P, \\) satisfaisant aux équations (~ \ ou au svstéme équivaleni '8 j.

Cela posé, considérons Vensembtf* dfs substitutions effectuées

sur les variables x et y

Ces suhstilulioDS forment un groupe : par là on entend que deux substitutions de cette forme, faites successivement, donnent une nouvelle substitution rentrant dans le même type ; c'est là un point évident, puisque le produit de deux substilutions, qui Iransforment respectivement une forme en elle-même, sera une substitution jouissant nécessairement de la même propriété.

Nous allons montrer que le groupe des substitutions S est fliseontinu pour les points {^,y) situés à l'intérieur du cercle

c'est-à-dire qu'à chaque point A de l'intérieur de ce cercle ne correspond, par les substitutions du {groupe, que le point A lui-même dans une aire suffisamment petite décrite autour de ce point.