Remarquons d'abord que, de l'identité

on déduit de suite

11 en résulte que, si le point (^^y) est à Tintérieur du cercle T, il en sera de même du point (X, Y). Observons maintenant qu'il ne peut y avoir qu'un nombre /i/ii de substitutions du groupe pour lesquelles | K3 1 soit moindre qu'une quantité donnée ; c'est ce qui résulte des équations (7) et (8). L'équation

Mî ;-Pi-K§-i,

par exemple, montre que les valeurs absolues de Mj et P3 sont limitées en fonction de | R3 |, et les trois premières équations (7) apprennent successivement qu'il en est de même de M|, I*<, R| et Ma, P;., Ra-

Montrons encore, et c'est là le point essentiel, que, quand la

SÉRIES MLLllPLES.

valeur absolue de R3 grandit indéfinimenl, le point (^, y) restant à l'intérieur du cercle F, l'expression

grandit elle-même indéfinimenl. On a, en effet,

Ma^ -T- Par - H3 = R, (i -+- ^ :r -4- 1^^) ,

et, en posant

= Kî

on aura

le second membre étant positif, comme nous allons le montrer. Il peut, en effet, s'écrire

1 — { \Lx' -^ ^y )^ ,

or, puisque l'identité