I -f- \LX H- ^y

JJt» -T- v* J I ,

( u a:' -+- vy )» = ( fx* -+- v2 ) ( a:'» -+- j'* ) — ( }iy' — va:' )*

montre que

Il en résulte que

(fxx'-+-vy)2<a?'»-T-y».

Mj P3 L i ar'î-y»

et de l'inégalité

I M,x^P,y+ R, I > I Rj I '- " "^^ ■^' ,

se conclut de suite le résultat énoncé. [ R3 1 étant d'ailleurs au moins égal à l'unité, le dénominateur M^x -h P^y -+- R3 ne pourra s'annuler, et, par suite, la substitution

Maar-f. P3 VH-Ra

MfX -\-P^y ■+- R2 M3X-+-Pa7-+- R3

•i84 ÉQUATION DE LAPLACK. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

donne toujours une val<Mir déterminée pour X et Y, quand le point (.r, 1') eut à V intérieur du cercle F.

14. Ces reniarfjues iailes, la discontinuité du groupe se démontre immédiatement. Kn effet, la relation

montre que

donc, quand, dans la suite des substitutions, la valeur absolue de H3 augmente indéfiniment, le point (X, Y) se rapproche indéfiniment de la circonférence F. Jl en résidte (jue les points correspondants au point (.r, y) sont nécessairement distants de ce point d'une quantité finie ; donc, dans une région suffisamment petite autour du point (x, v), il n*y a, en dehors de ce point lui-même, aucun point qui lui corresponde par les substitutions du groupe. Celui-ci est discontinu.