THÉORIE DES ENVELOPPES. SOQ
Ton pose
on c^p
14. Nous allons éludier maintenant un cas particulier. On peut d abord se demander si les droites d'une congruence arbitraire restent normales à une certaine surface. S'il en est ainsi, le z du pied cJe la normale sur la surface est une fonction déterminée de a et ^, et Ton a, pour toute variation cIt. et ^/,3de a et ^,
a dx -h b dy -^ dz = o
ou, en remplaçant dx et dy par leurs valeurs tirées de
X = az -hpy y = bz -^ q, {a* -ir b* -\- 1 ) dz -h z( a da -h b db ) -^ a dp -\- b dq =o.
Pour voir si l'on peut trouver une fonction 5 de a et ^3 satisfaisant à cette équation aux différentielles totales, posons
on aura, pour /, Téquation
,. __ adp '\- b dq
ou
Le second membre doit donc être une différentielle totale exacte, ce qui entraînera une relation qu'il est inutile d'écrire entre les qualrc fonctions «, t, />, q de a et jï. Donc, il n'existe pas, en général, de surface normale aux droites d'une congruence donnée.
On peut donner une forme géométrique très remarquable à la condition que nous venons de trouver. Pour simplifier le calcul, supposons que /> et ^ soient les deux variables indépendantes que nous avons désignées par a et ^; nous n'introduisons d'ailleurs
3lO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INPLMTÉSIXAL.
ainsi aucune condilion limitative si nous supposons que les axes de coordonnées n'occupent pas de position spéciale par rapport à la congruence. La condition pour que les droites soient normales à une surface s'écrit alors
Or considérons les plans tangents aux deux nappes de la surface focale, correspondant à une génératrice arbitraire ; on les obtiendra en formant d*abord Téquatlon difTérentielle correspondant aux développables passant par cette génératrice. Ce sera
da dq — dh dp ■=. o ou
\dq J dp dq\dp Oq / *^Ç ~^
Si m et m' sont les deux racines de cette équation du second degré en -^9 les plans tangents ont pour équations
X — aZ — p — (Y — ht— q)m =0, X — aZ— p — (Y — bZ — ^)m' = o.
Cherchons à quelle condilion ils seront rectangulaires; cette condition s'écrira
ou, en remplaçant m et m' qui sont racines de l'équation du second degré écrite plus haut,
âb , ,. . /da db\ da . ,.
Or cette condition coïncide avec celle que nous avons trouvée pour exprimer que les droites de la congruence étaient normales à une surface. Nous sommes donc ainsi conduit à ce remarquable théorème qui paraît dû à Dupin :
La condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence restent normales à une sur/ace est que les
THÉORIE DES ENVELOPPES. 3l I
plans tangents aux deux nappes de la surf ace focale ^ correspondant à une génératrice quelconque, soient rectangulaires.
13. Du ihéorème précédent se tirent d'importantes conséquences pour la théorie des surfaces. Considérons une surface S <*l l'ensemble de ses normales. Par chaque génératrice de c<*tte congruence passent deux surfaces développables ayant, comme génératrices, des normales à la surface. Les pieds de ces normales forment sur S deux courbes ; nous pourrons donc dire que, par chaque point d'une surface, passent deux courbes sur la surface, pour les points desquels les normales forment des surfaces développables. Nous aurons à reprendre avec détail l'étude de ces courbes, (|u'on appelle les lignes de courbure de la surface. Les deux lignes de courbure qui passent en un point sont à angle droit, d'après le théorème du paragraphe précédent, car l'angle de ces deux courbes mesure évidemment l'angle dièdre des plans tangents aux deux développables passant par la normale. Les points où cette droite, considérée comme appartenant à l'une ou l'autre des développables, touche son enveloppe, jouent aussi un rôle important dans la théorie des surfaces.
