III. — Généralités sur les complexes. — Complexes linéairss
16. On donne le nom de complexes de droites à rensembledi*^ droites de l'espace
a y 6, />, q dépendant de trois paramètres arbitraireft a, Ji, Y' " *''*^ clair que, par un point arbitraire de l'espace, ptiH^crunt vu général une infinité de droites du complexe^ foriiiiint un roue. Proposons-nous une question analogue à celle que iionii iivonn traitée (§ 13) pour les congruence» : wiui droile I) du roinplrxi* éliint considérée, peut-on trou\er un point nur retle droite lrl qu'ni re point toutes les surfaces réglées pasitanl par va*\\v droite ri iiyiinl pour génératrices des droites du complexe aient ni^nir plan lun gent? Il faudrait que
3l2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL LXFIMTÉSIMAL.
fui indépendant de -j- et ^> ce qui donne
^ On dp ^Oa Op ^ da dp
^ Oh ^y ~ . ^f^ ''7 ~~ » ^^ '^7 "Ji"^JÏ ^J^"^5? ^ô^'^â^
Nous avons donc ici, pour déterminer 5, deux équations du second degré. En éliminant :; entre ces deux équations, on aura une relation
entre a, p et y. Le problème proposé n'a donc de solutions que pour les droites D satisfaisant à cette relation. On les appelle les droites singulières du complexe. Elles forment une congruence qui est dite la congruence des droites singulières.
Sur une droite singulière D, il y a un point F satisfaisant à la question posée et dont le z est la racine commune aux deux équations écrites plus haut. En ce point F, toutes les surfaces réglées passant par D et appartenant au complexe ont même plan tangent P. Les points F forment une surface : on l'appelle la surface des singularités du complexe. Cette surface des singularités est une nappe de la surface focale de la congruence des droites singulières. Au point F, la surface des singularités a pour plan tangent le plan P.
17. Les complexes algébriques sont particulièrement intéressants; on les a classés d'après leur degré. Quelques explications préliminaires sont indispensables, relativement au mode de représentation d'une droite. Une droite étant donnée, nous pouvons écrire les équations de ses projections sur les plans de coordonnées sous la forme
(10; I M = ;;X — :rZ,
j:, y, z désignant les coordonnées courantes. Les six constantes L, M, N, X, Y, Z peuvent être dites les coordonnées de la droite. Elles ne sont d'ailleurs pas indépendantes, puisqu'on a évideni-
THÉORIE DES ENVELOPPES. 3l3
ment la relation
LX + MY -h NZ = o.
Réciproquement, étant données six quantités L, M, N, X, Y, Z liées par la relation précédente, on peut dire qu'elles définissent une droite; cette droite est celle que représentent les é(|uations(io), qui se réduisent alors à deux. Nous avons donc de cette façon un système de six coordonnées liées par une relation, cl, comme ces coordonnées sont homogènes, nous avons bien le degré d^indétermination représenté, comme il doit être, par le nombre quatre.
Ceci posé, un complexe algébrique sera représenté par une équation de la forme
F étant un polynôme homogène en L, M, N, X, Y, Z. Si ce polynôme est de degré m, le complexe sera dit d'ordre m.
Deux remarques sont évidentes. Les droites A\\ complexe passant par un point arbitraire (xo, y^^ Zq) forment un cône, et, puisqu'on a
F(^oZ — ^oY, z^X — x^Z, T^\-^y^\, X, Y, Z; = o
et que X, Y^ Z sont les coefficients de direction de la droite du complexe, le cône sera évidemment d'ordre m. En second lieu, les droites du complexe situées dans un plan enveloppent mit courbe de classe m; car, par un point du plan, on peut mener à cette courbe m tangentes, qui sont les intersections du plan avec le cône d'ordre m correspondant au point.
18. Après ces généralités, considérons en particulier le aà% où le complexe est linéaire, c'est-à-dire du \pretuu*.r (fidiit. Sou équation sera alors
(I I) AL -^ BM -h C\ -r- î)\ -h KY ^ FZ -. #;,
A, B, C, D, E, F désignant dt^ iytm^VittUi* .
Toutes les droites du i'jnu\Ae%K pai>»aut par un point M^roui alors dans un plan, et, in%'er^fu';ut, l/>ute» \*t^ 4roiu*% du complet^'' situées dans un plan pa«»M;rofit par uu mhu^i point tU', ' e \t\iàU \ i'M sont des conséqueoceb \mui^A'vàUt% àK% dieu s t^im'éîi\n^'% {4ïU*% k \^
3r4 APPLICATIONS GÉOXÉTRIQUBS DU GALGL'L INFLMTÊSIMAL.
fin du paragraphe précédent. Un complexe linéaire établit donc une relation entre les points et les plans de Tespace : à chaque point correspond un plan passant par le point et, inversement, à chaque plan correspond un point situé dans le plan.
Étant donné le point (^oj^o? ^o); cherchons Inéquation du plan correspondant; la relation entre X, Y, Z sera alors
A(^oZ - -30 Y) -+- B(zo X — j-oZ)-*- CC^roY-j^oX) -+- DX -h EY -+- FZ = o,
et nous aurons Téquation du plan en remplaçant X, Y, Z par
X — Xq, y — yoj z — Zq. On a ainsi
(x-2-o)(B3o-G^o-+-D)h-(^-^o)(Gj-o-A5oH-E)
-h( z — ■3o)(A^o— Bj?o-+- F) = o-
Telle est Téquation du plan correspondant au point (Xq, ^'o, ^o)* On dit que ce plan a ce point pour pôle ou pour foyer, et inversement le plan est dit le plan polaire du point.
Une notion importante dans la théorie des complexes linéaires est celle des droites conjuguées. Soit D une droite n^appartenant pas au complexe ; cherchons le lieu des foyers des plans passant par D. Appelons F et F' les foyers de deux plans particuliers, d^ailleurs quelconques, passant par D; je dis que la droite A joignant F et F' sera le lieu cherché. En effet, tout plan passant par A aura nécessairement pour foyer son point de rencontre ç avec D, puisque les droites çF et <f F' sont des droites du complexe. Il en résulte que toute droite rencontrant D et A appartient au complexe, et enfin qu'un plan quelconque passant par D a pour foyer son point de rencontre avec A. Le lieu cherché est donc la droite A. Les droites D et A sont dites droites conjuguées; il y a évidemment entre elles réciprocité.
19. La correspondance entre points et plans, que nous venons d'indiquer, comme résultant de la notion de complexe linéaire, se rencontre dans plusieurs théories de Mécanique. Prenons, par exemple, la théorie cinématique du mouvement d'un corps solide; l'équation
(jr — Xo)(B5o— C7o-+-I>)-^(r— roXC^To — A^t-+-E)
-+- (-5 — Zo){Xyo — B j?o -h F) = o
TnÉORIE DES ENVELOPPES. 3 1 ; >
du plan corrcspondanl au point (j^o^yo* ^o) est susceptible d'une interprélation immédiate.
Si l'on considère un solide on mouvement, à un moment déterminé, les composantes de la vitesse ç^j., i'^, r^ d'un point (|uelconque (^, ^', z) sont données par des expressions de la forme
Vy = E -h Cx — A 3, i'- = F H- \y — Ux.
Le plan considéré sera donc le plan passant par {jTo^ yn^ Zq) et perpendiculaire à la vitesse de ce point. I^'identité est donc complète entre la théorie des com[>lexes linéaires et l'étude cinématique des vitesses, à un moment déterminé, des divers points d'un solide invariable. Il suffit de signaler cette analogie, qu'il serait facile d'approfondir davantage; ainsi on verra aisément (|uc les droites du complexe sont les droites normales aux trajectoires de tous leurs points.
Nous remarquerons seulement i\iu\ si l'on se reporte a la théorie du mouvement d'un solide, on peut obtenir une forme réduile très simple de l'équation du complexe. Faisons en effet un changement d'axes de coordonnées, <rn prenant comme axe des z l'axe du mouvement hélicoïdal : on aura, dans ce cas, pour i'jr, i'^-, i'^ des expressions de la forme
i\r = — Cy, i'y = Cx, Vz = F
tH, par conséquent,
L'é(|uation du complexe sa réduira alors à
es - FZ ■-= o.
Revenant au cas général, ajoutons enlin que Ton n*aiira pan enin* les constantes A, B, C, IJ, K la relation
Al) -^ UE - CF ^ o, si ce n'est dans le cas particulier où la vitesse d'un point quel-
3l6 APPLICATIONS GÉOMÉTIUQUES DU CALCUL I.NFIM TÉSIXAL.
conque du corps est perpendiculaire à la direction
 ■" B ~ G' c'est-à-dire où le mouvement se réduit à une rotation.
20. Une classe intéressante de courbes gauches est formée par les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire donné. Nous les rencontrerons plusieurs fois dans la suite. En supposant les coordonnées x, y^ z d'un point quelconque de la courbe exprimées en fonction d'un paramètre, les tangentes de cette courbe appartiendront au complexe linéaire représenté par l'équation (i i) si
\{y dz — z dy) -{■■ ^{z dx — x dz)
G( r dy — ydx) -h D é/j: -+- E e/j^ -h F c^;: = o,
puisque X, Y, Z sont en chaque point de la courbe proportionnels à dx^ dy^ dz. Un exemple de courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire nous est fourni par la cubique gauche. On sait que la cubique gauche est rinterseclîon de deux surfaces du second degré ayanî une génératrice commune. Prenons deux quadriques ayant en commun l'axe des z,
Ao?» -h k'y^ H- -2 \^yz -^ 'll^' zx -^ i W xy -h 2 D ^ + 2 E^k = o, ax^-\- a' y^-\- 7.byz -4- ib' zx -\- ih' xy -\- %dx -h %e y = o;
coupons la cubique par le plan y = %x. On voit que les coordonnées x^ y^ z s'exprimeront en fonctions rationnelles de a, sous la forme suivante
les P désignant des polynômes du troisième degré eu a. Réciproquement d'ailleurs, une courbe gauche donnée par les équations précédentes sera une cubique gauche.
Montrons que les tangentes de cette courbe appartiennent à un complexe linéaire. Pour cela, il faut faire voir que l'on peut
THÉORIE DES ENVELOPPES, 6î'J
trouver six cooslantes A, B, . . . , F telles que la relation (12) soit
vériGée. Or on a
«•^ = — — rn ^* "'
le numérateur sera un polj^nùnie du quatrième degré en a. Pareillement
le numérateur étant toujours au plus du quatrième degré en a. En faisant les substitutions de ces expressions et des analogues dans le premier membre de (l'i), nous avons à égaler identiquement à zéro un polynôme du quatrième degré. Nous aurons ainsi cinq relations homogènes et linéaires entre A, B, ..., F dont les rapports pourront par suite être déterminés. \ous pouvons donc dire que /es tangentes à une cubiffue gauche appartiennent à un complexe linéaire. Ce r.'sullat a été donné, sou» une forme différente, par Chasle>.
3l8 APPLICATIONS GÉOXÉTRIQt'KS DU CALCUL I.NFIMTÉSISIAL.
