I. — Contact des courbes planes
1 . Soient C et C deux courbes planes ayant un point commun M qui est pour Tune et l*autre un point simple. On dit que ces deux courbes ont, au point M, un contact d'ordre /i, lorsque, à un point A de C infiniment voisin de M, on peut faire correspondre sur G' un point A' infmimcnt voisin de M et tel que la distance AA' soit un infiniment petit d'ordre n -\- i relativement à l'arc MA, ou, ce qui revient au même, à la corde MA.
Cherchons les conditions qui expriment que les deux courbes (i cl C'ont, au point M, un contact d'ordre n. Soit la première courbe représentée par les deux équations
le point M(jroî J'o) correspondant à l = t^. On suppose la représentation telle que/'(/o) etF'(/o)ne soient pas nuls tous les deux, ce qui est permis puisque le point M est, par hvpolhèse, un point simple de la courbe. Semblablement la courbe C sera définie par les équations
on a Xo= 'f (''o)»^o = ^(''o)> ^^ O" suppose quey'(«o) et *'(wo) ne sont pas nuls tous deux.
Pour établir une correspondance entre les points de C et de C voisins de M, considérons u — Uq comme fonction de / — toj et supposons qu'on puisse développer u — u% suivant la formule de
ïa^'lor
(I) II — i/y=).,(/ — /q)4-X,(/ — /o)*H-...H->'«(' — 'o)'*H-...-
Tout d'abord la corde MA est d'ordre de ^ — t^. On a en effet
MÂ'= l/io -/(^,)]« + [F(0 - lHto)V;
la partie principale du second membre sera donc, en développant chaque terme par la formule de ïajior,
le coefficient de / — /© n'étant pas nul, MA sera de l'ordre de / — /o.
Nous avons donc à exprimer que AA' est d'ordre n -+- 1 par rapport à / — t^.
Cela étant, puisque
nous devons écrire que x' — x ety — y sont d'ordre n 4- i relativement à t — /©; ces conditions nécessaires sont évidemment suffisantes. Or les coordonnées x etj', ainsi que x' eiy^ peuvent être développées suivant la formule de Taylor
^=y('o) -f- ('-'o)/'('u)H-7V, ('-'o)V('o)-H..., x'= o(uo)'\- (il — Uo)o\uo^ H ( w — Wo)*îp*(Wo) -H
Remplaçons dans la seconde ligne u — Uq par son développement (i), et exprimons que les n premiers coefficients dans la différence x' — X sont nuls, en remarquant que le premier terme disparaît de lui-même puisque /(/q) = î(wo). Nous avons ainsi n équations où figurent les n inconnues X|, ^2, ••• > 'v/. Ce sont
lio'(uo)-/'(to) = o,
— ?'(«o)-7Î-r(^)-t->'î?'(Wo)=o,
I^a différence y — y nous donne aussi n équations qui ne diffèrent de celles-ci que par le changement de /et » en F et *. On a
320 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INflNITÊSIXAL.
donc
Eli résumé, nous avons 'xn équations, pour déterminer les /i inconnues A|, )^27 • • •» \l'
Il y a donc n équations de condition qui doivent être vérifiées |)ar les n premières dérivées des fonctionsy, F et ^, ^, pour l = io et // = Uq. Ces conditions peuvent s'obtenir par un calcul très régulier. Comme o'{iio)cl ^'(uq) ne sont pas nuls à la fois, nous supposerons, pour fixer les idées, cj)'(//o)^o. On considère alors le premier système d'équations^ la première équation donnent, la seconde donnera Aq et ainsi de suite, sans qu'on soit jamais arrêté, car le coefficient du nouveau X qu'on veut déterminer est toujours '■d'(uo)' On portera ensuite les valeurs trouvées de X|, A2, . . ., X,, dans le second système et on aura les n conditions cherchées.
Telle est, sous la forme la plus générale, la solution du problème du contact.
â. Faisons à ce sujet diverses remarques. En comparant les pre niières équations de chaque groupe, on trouve
ainsi les deux courbes ont en M la même tangente; ce résultat était évident a priori.
Comparons maintenant les arcs MA et MA'. Les parties principales de MA et MA' sont
La dernière expression peut se remplacer par
>'î('-'o)M?'*("o)-+-*'»(wo)];
le rapport de ces deux expressions est donc
qui est égal à l'unité, d'après la première équation de l'un et l'autre système écrit plus haut. Nous en concluons que
,. MA l.m^,=i.
Il en résulte, ce qui d'ailleurs devait être par raison de symétrie,
que AA' est du même ordre infinitésimal par rapport à MA et à MA'.
3. Dans les applications, il arrivera rarement que les courbes C et C soient données sous la forme très générale que nous avons adoptée. Un premier cas particulier est celui où la fonction ^(u) n'est autre chose quey*(tt), avec c/o='o' ^^^ deux courbes sont alors données par les équations
Les conditions de contact vont se simplifier. En supposant /'(Iq) yé. G, la première équation du premier système donne X| = i et les autres
Aj = A3 = ... ^ A/i ^ O.
Les équations de condition sont alors
Donc, pour que les deux courbes aient au point M un contact (l'ordre /?, il faut cl il suffit que les deux fonctions F et ^ et leurs n premières dérivées soient égales pour t= u == /„.
Un cas plus simple encore est celui où les deux courbes sonl définies par les deux équations
Les conditions pour que le contact soit d'ordre n se réduisent à
C'est sous cette forme que Lagrange a traité la question du p. — I. ai
contact des courbes. Considérons les deux courbes C et G passant par le point M(xo, ^o)* Si nous donnons k x k partir de x^ un accroissements — Xq, les coordonnées des points des deux courbes, qui ont pour abscisse s, sont exprimées par les développements
y = F(a:o) -i- (a: - a^o)F'(a?o) H-. . .-+- ^^-^^^^ F<'»(iro) -h. . . , Y = ^(xo) H- (ar — Xo)^'(xo)-h, . .-t- <^-^o^" 4>(«)(:f,,) ^. . . .
I • X • • • rv
Dans ces deux séries les n premiers coefficients sont les mêmes; la différence Y — y des ordonnées est donc un infiniment petit d'ordre n + i par rapport k x — Xq, Ainsi, dans le mode de correspondance actuel, que Lagrange se donnait a /?r/or/, on prend pour points correspondants des deux courbes les points qui ont même abscisse (on suppose, bien entendu, que la tangente en M n'est pas parallèle à l'axe des^'). Remarquons que, si n est pair, la différence Y — y change de signe avec s — Xq ; donc, si deux courbes ont en un point un contact d'ordre pair, elles se traversent. Le contraire a lieu quand le contact est d'ordre impair.
A. Voici une dernière forme des conditions de contact qui est d'un usage fréquent. Supposons que la première courbe soit définie par l'équation
l'autre par les relations
et que les deux courbes aient le point commun (xq, yo) correspondant à t = to-
Si nous remplaçons x par/(^) dans X(ar,y), l'équation
définit une certaine fonction y = ^(^)i se réduisant à y^^ pour t=tQ. On peut alors concevoir la première courbe comme définie par les équations
et appliquer les conditions de contact trouvées précédemment : les deux fonctions F(^) et ^{t) auront mêmes dérivées jusqu'à
THÉORIE DO CONTACT. — COURBURE. 3'ïS
Tordre /i, pour / = /©, d'où résulte que les deux fonctions
M/in, F(0] et x[/(o, 4>(o]
auront aussi mêmes dérivées jusqu'à l'ordre n pour / = (q- Or, cette dernière fonction étant identiquement nulle, il en sera de même de ses dérivées. Par conséquent, /a/onction '^^[f(i)^F(()\ et ses dérivées jusqu à l'ordre n s annulent pour t = /q» et ces conditions nécessaires pour le contact d'ordre n sont en même temps suffisantes. La remarque précédente sera d^une application constante.
o. Une notion importante est celle des courbes osculatriccs. Supposons que nous ajons une famille de courbes
dépendant de r paramètres arbitraires a. On peut se ])roposcr d(» déterminer ces paramètres de façon que la courbe pré(X'denl(? iiit, en un point donné d'une courbe donnée, le contact d'ordn; \c plus élevé possible avec cette dernière. Si n est l'ordre de contact, il faudra satisfaire à /i + i écpiations de conditions ; donc, on choisira, dans le cas général, /z -f- 1 = r, pour déterminer tous les paramètres. Le contact est alors de Tordre /• — i ; la courbe ainsi déterminée est dite osculatrice à la courbe donner. Kn premier lieu, prenons les droites
y — ctiX — «j — o.
La courbe est donnée par les expressions d«; .r ri y en fonrtion d'un paramètre t. Pour le point de cette courbe corre.Hpondiint h la valeur t du paramètre, le contact sera du premier ordre ni
fjy fir
/// ' fil
la droite obtenue est la lanjrenle à la roiirbe. \.v ronfael, m ^i'néral, sera du premier ordre; à qu^dle rondition nerwii il du necond ordre? U faudra, eu plus d<;H éqiiationn pn'rrdrnlfn, qur
fh y //' /
el, par conséquent, on aura
dt
dy dt
C'est donc seulement pour les points de la courbe, vérifiant la relation précédente, que le contact de la tangente sera du second ordre ; ce sont les points d' inflexion.
Considérons, en second lieu, Féqualion générale d'un cercle
(X — a)»-i- {y — by— R« = o,
avec les trois paramètres «, 6, R. On pourra les choisir de manière à avoir, en un point arbitrairement donne sur la courbe, un contact du second ordre. On devra avoir
.dx, , dy
(x— rt)
d'^x ~di^
d^y dt^
[dtj
Les deux dernières équations donnent les coordonnées {(t^b) du centre du cercle osculatcur, et la première fait connaître son rayon.
Le centre du cercle oscillateur est situé sur la normale, au point où cette droite touche son emeloppe. Prenons, en effet, Téquation de la normale
^ „ . dx ..r . dy
On obtiendra le point où elle louche son enveloppe enjoignant à celte équation l'équation dérivée par rap|)ort à t,
/v ^dix ,„ diy /dxy /dry
Ces équations sont les mêmes que les précédentes en y faisant X = a, Y = 6, ce qui démontre le théorème.
Si, en particulier, la courbe est donnée sous la forme
THÉORIE DU CONTACT. — COURBURE. 3'Jl5
on aura, pour les coordonnées a et b du centre du cercle osculn-
teur au point Xq^
aro— a -+- (70— *) F'(j:o) = Oi
La dernière équation montre que j^o — ^ ^^t de signe controirn à F*'(^o). Or, si F"(^o)!> o? la courbe tourne sa concavité vern les j^ positifs ; yo — b est alors négatif, c'est-à-dire que le point (Oy b) est du même côté que la courbe par rapport à la tangente dans le voisinage du point considéré. La même conclusion subsintc si F*'(;roXo.
Démontrons enfin que le cercle osculateur en un point {^rn^y^) (Vune courbe est la position limite d'un cercle passant par ce pointy et deux autres points infiniment voisins. Soient, en cfTel, 'o> ^o-f-A|, /0-+-A2 les valeurs de / correspondant à ccn Iroi» points ; A| et h^ tendront vers zéro d^une manière arbitraire « Kn posant
on a
X(/o) = o, ).(/o-+- Aj) = 0| ).(/o-+- A,)=s o.
équations qai peuvent s'écrire
ht
I, — Al [ A,
-: tf.
hf — Af | A| hf
Elles deviennent, en développant,
et pour /i| = Aj = o, 00 »
Noos retro^aroos aînsf fcç^ ^^oatfff«»^ f\n% à^mf^mt 1^ tjtftX^, ff^,n^ lateor.
résolvant les deux équations en x — a et y — b et portant dans l'expression de R^, on trouve de suite
En un point d'inflexion, R est infini ; le cercle oscnlateur se réduit à la tangente, qui a alors, comme nous Tavons dit, un contact du second ordre avec la courbe.
