II. — Courbure des courbes planes. — Développées
et développantes.
7. Au cercle osculateur se rattache immédiatement la notion de la courbure d'une courbe plane. Reprenons auparavant les formules précédemment obtenues, en introduisant explicitement les cosinus directeurs de la tangente et de la normale à la courbe.
On a, comme nous l'avons dit,
ds ^ *^ às^
a et ^ désignant les cosinus des angles faits par la tangente à la courbe, prise dans le sens des arcs croissants, avec les axes de coordonnées. L'équation de la normale s'écrit alors
et, pour avoir les coordonnées du centre du cercle osculateur, il faut adjoindre l'équation
Puisque a rfa 4- ^ û?fi =- o, nous pouvons modifier la première équation, et nous avons alors le système
I (\'-X)d^-(\'^X)d0L=O, l {\ - x)dOL ^ {\ -y) d^= ds;
et, par suite, en faisant la somme des carrés.
Dans les calculs qui vont suivre, R va être considéré comme une quantité essentiellement positive. Introduisons maintenant les cosinus directeurs a' et ^' de la demi-droite MI qui va du point M de la courbe au centre I du cercle osculateur ; nous aurons, X, Y désignant toujours les coordonnées du centre I,
(Ml substituant ces valeurs dans les équations (2), il vient
p' cix - a' rf.3 = o,
ds R
d'où
^ ds R' ds R
Aux deux formules précédentes, il est utile d'en adjoindre deux autres, donnant les diflTérentielIes de ol' et ^'. Les deux équations
donnent en effet immédiatement
par suite
ds ~~ r' ds " R
Remarquons que la quantité désignée par À sera tantôt égale à -+- 1, tantôt à — I : elle sera égale à -f- 1 quand, \IT coïncidant avec Oj:, MI coïncidera avec Oy 5 elle sera égale à — 1 si, dans les mêmes conditions, MI coïncide avec le prolongement de O^.
8. Les formules fondamentales (3) et (4) obtenues, passons à la définition de la courbure d'une ligne plane. Soient le point M sur la courbe et M' un point infiniment voisin ; nous menons les tangentes Mï et M'T'; soit e leur angle infiniment petit. Le rapport
arc MM'
est dit la courbure moyenne de Varc MM', et sa limite est dite la courbure de la courbe en M.
La courbure est l'inverse d'une ligne. On appelle celle-ci le
rayon de courbure p de la courbe au point M. Calculons --> ou, ce
qui reviendra au même pour passer à la limite, -t— • Les cosinus directeurs de la tangente en M' seront a 4- Aa et ^ -H A^; donc
sinU (gA3 — pAg^« A 5» "" A5*
et, par suite,
j (gr/3 — 3£fg)«
Nous transformerons le second membre en employant l'identité
(g £/? — p ddY = («*-+- ?«) (</a«-4- £/?«) — {%da -♦-M?)*» et, comme a^4- ^^ = i, il en résulte
En nous reportant à l'expression du rayon du cercle osculateur, nous voyons que le rayon de courbure est égal au rayon du cercle osculateur. Aussi le centre du cercle osculateur en un point est -il appelé le centre de courbure de la courbe en ce point.
9. Les centres de courbure d'une courbe plane forment une courbe remarquable étudiée par Huygens, qui lui a donné le nom de développée. La développée, d'après ce qui a été vu plus haut, est aussi l'enveloppe des normales. Une propriété fondamentale de la développée est relative à la longueur de son arc. Soient {jC\^y%) les coordonnées du centre de courbure au point M(jr,j^) de la courbe ; on a
j-, =a?-+-Rg', yi =^-+-R?',
d'où, en différcntiant et tenant compte des formules (4),
dxy = g'r/R, <(^, = P'rfR;
donc, en appelant s^ Parc de la développée,
Tant que le rajon R varie dans le même sens, en comptant les arcs dans un sens convenable sur la développée F, on aura
dsi = dR.
Ainsi, si, de M en M', R varie dans le même sens,
s\ — si = K—R.
L'arc II' de la développée est donc reclifiable (Jiff' i6); il est égal à la différence M'V — MF. On ne devra pas oublier que le
résultat précédent suppose essentiellement que le rayon de courbure varie dans le même sens quand on va de M en M'.
On peut encore traduire la propriété de la développée sous la forme géométrique suivante. Imaginons qifun (il soit enroulé sur la développée F, à partir d'un point arbitraire A, et s'en détache au point F pour suivre la tangente FM'. On coupe ce fil en M' et on l'enroule sur la courbe F en le maintenant toujours tendu ; son extrémité libre décrira la courbe C.
Réciproquement, la courbe C est dite la déi'eloppante de la courbe F. Prenant une courbe arbitraire F, si l'on porte sur
chaque tangente à cette courbe une longueur IM = /, / étant dé-
33o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INPLMTÉSIXAL.
finie par la relation
/ H- i = consi.,
où s est l'arc Al de la courbe comptée à partir d'une origine A arbitraire, le lieu du point M sera une courbe normale aux tangentes de la courbe F.
Une courbe a une inGnité de développantes qui correspondent aux. diverses valeurs de la constante; ces développantes sont des courbes parallèles.
10. Nous avons trouvé, pour le rajon de courbure, l'expression
en prenant pour 11 la valeur absolue du second membre. Nous avons dit que cette expression offre une particularité intéressante pour un point d'inflexion ; le dénominateur s*annulant, le rayon de courbure est infini. Le cas où le point considéré de la courbe est un point de rebroussement de première espèce est digne aussi de remarque. Pour un tel point supposé placé à l'origine des coordonnées, avec Taxe des x pour tangente, on a
^- restera donc fini pour :r =: o, mais -^-^ deviendra infini. On
a donc, en un point de rebroussement de première espèce, R = o. La développée d'une courbe passe donc par ses points de rebroussement de première espèce.
Cherchons, d'une manière générale, la relation entre le rayon de courbure d'une courbe et celui de sa développée au point correspondant. Les angles dont tournent les tangentes à l'une et l'autre courbe étant les mêmes, on a, en désignant par p le rayon de courbure de la développée,
p àst R - ^5'
en prenant la valeur absolue du second membre ; mais, puisque
dsi = rfR, nous pouvons écrire
en prenant, dans le second membre, la valeur absolue de -7- > si
Ton veut avoir p positif. Une conclusion intéressante découle immédiatement de cette formule. Quand le rayon de courbure passe par un maximum ou un minimum, on a
du
et, par suite,
La développée, ayant un rayon de courbure nul, aura donc, en général, un point de rebroussement de première espèce. On peut vérifier celle conclusion sur la développée de l'ellipse; pour les sommets de l'ellipse, son rayon de courbure passe par un maximum ou un minimum, et dans la développée correspond un point de rebroussement. On vérifiera aussi que l'arc de la développée, fini comprend un point de rebroussement, n'est plus égal à la différence des rayons de courbure exlrêmes de la courbe initiale, ce qui justifie la restriction sur laquelle nous avons insisté plus haut.
H. Reprenons les formules (3) et (4) du § 7 :
ds ~ R' ds " R'
ds '~ R' ds ^ R*
On a d'ailleurs
les signes se correspondant.
Ces formules permettent de traiter un problème intéressant. Supposons que l'on se donne l'expression du rayon de courbure R en fonction de l'arc 5, et cherchons à déterminer la courbe. On aura
ds =-R- (' = v/=^)'
ou, en posant a + f x = w,
du lu ^ ds ""'H'
donc
du . ds
par suile
u = Ce *' *^ (G désignant une constante)
et, en posant C = A -h Bi et / -r- := t (d sera une fonction déterminée de 5),
a4- «3t' = (A -h t'B) (cosj — e sina).
Nous obtenons donc
a = A cosa 4- B sina, a'= B cosj — A sincj;
et, puisque a^ + a'^ = i , il faudra que A^ -h B^ = i .
Telle est la solution générale du problème; pour P et P', on prendra
Prenons pour origine des coordonnées un point de la courbe, pour axe des x la tangente et pour axe des y la normale : on aura
a = i, a' = o pour s = a = o;
nous prendrons alors
et par suite
a = cosa, a' = — sin a.
Si, de plus, on veut que
p = o, p' = I pour 5 = 0,
on devra prendre
P = sina, P'= cosj.
Cherchons enfin les valeurs de x et y. Des relations
dx =^ 7. dsj dy zzz^ds
on conclut
formules qui résolvenl le problème à Taide de trois quadratures. Soit, comme application, R constant et égal à Rq; on aura alors
donc
ir=Rsin^, ^ = — R cos - -h R :
la courbe sera le cercle représenté par l'équation
J^e cercle est donc la seule courbe plane dont le rajon de courbure soit constant, résultat que donnerait immédiatement d^ailleurs le théorème relatif à la^développée. Dans celle-ci, en effet, la longueur de Tare sera nulle et clic se réduira à un point.
Comme seconde application, soit Ti = '^ l^s. Nous aurons 0-= jjl.v^, et
Ces quadratures ne peuvent être effectuées, mais il est néanmoins facile de construire la courbe en se rappelant que, lorsque s augmente indéfiniment, ces deux intégrales tendent vers une limite (Chap. I, § 16). La courbe se compose de deux branches symétriques relativement à l'origine et tournant chacune autour d'un point asymptote.
12. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur la courbure des courbes planes, en donnant une construction géométrique du centre de courbure en un point d'une ellipse {/ig* 17). Menons les normales en M et au point infiniment voisin M'; soit O leur point de rencontre. En posant
MO = FM = a et F'M'O = a',
et désignant par O, F et F' les angles MOif, MFM', M'FM, on a
d'où
et, en divisant par A^ = arc MM',
A5 Is Is
Quand M' se rapproche de M, le second membre tend vers jt»
Fig. 17.
Il étant le rajon de courbure de l'ellipse en M. D'autre part, la considération du Iriangle FMM' donne de suite
,. F cosa
lim — =
As /•
et pareillement on a
lini -— = Is
cosx
