III. — Contact des courbes gauches. — Contact des courbes

et des surfaces.

13. La théorie du contact de deux courbes gauches est entièrement semblable à celle du contact des courbes planes. Soient C et C deux courbes gauches ayant un point commun M; on dira qu^elles ont en M un contact d'ordre /i, lorsqu'à un point A de C infiniment voisin de M, on pourra faire correspondre sur C un point A' infiniment voisin de M tel que la distance AA' soit d'ordre n -+- I relativement à la corde ou à l'arc MA.

Prenons d'abord d'une manière générale les deux courbes représentées par les équations

le point commun M correspond à t=:to, u = Uq- On suppose, comme il est permis, que les trois dérivées/', ç' et ^' ne s'annulent pas simultanément pour t = tQ^ et de même pour F'(uo),

Nous suivons maintenant la même marche que pour les courbes planes ; soit encore

la relalion en Ire u el t qui définira la correspondance entre A et A'. Nous devons déterminer les coefficients \ de manière que x^ — x, y' — >', z' — ^soient infiniment petits d'ordre /i + i par rapport à t — /o« Nous avons ainsi trois groupes de n équations, dont j'écris le premier

XjF'(wo)-/'(«o) = o,

les deux autres s'obtenant en remplaçant respectivement F et / par ^ et îp, puis par ^' cl i^.

Les trois dérivées F'(wo), ^'(//o), ^'(''o) n'étant pas nulles àla fois, il y aura au moins un de ces groupes qu'on pourra résoudre par rapport à X|, Xj? •••? ^>/î- Si, par exemple, F'(wq) est différent de ze»ro, on pourra se servir du premier groupe : la première équation donnera À17 1^ seconde X2, et ainsi de suite, le coefficient de la nouvelle inconnue à déterminer n'étant jamais nul, puisqu'il est toujours égal à F'(^^o)*

En substituant les valeurs ainsi trouvées de ).|, )v2, . • . , X,, dans les deux autres groupes, on aura les in conditions nécessaires et sujffisantes pour que les deux courbes aient au point commun M un contact d'ordre n. Le même calcul que plus haut montre que

le rapport -^^ a l'unité pour limite.

Dans la pratique, les équations des deux courbes pourront t^tre données sous une forme plus simple. Supposons, par exemple, que la fonction F coïncide avec la fonction f et que /©= i/o* Les équations des deux courbes sont alors

On a d'ailleurs

Le premier groupe d'équations donne alors

Par conséquent

Pour que les différences^ — y et z' — z soient d'ordre n-{- \ , on voit donc de suite qu'il est nécessaire et suffisant que les fonctions <ï>(//) et <p(/) aient mêmes dérivées jusqu'à l'ordre n pour u=zi ^ t^, et de même pour W(w) et i/{t).

Supposons, en second lieu, que la courbe C soit définie par les deux équations

Fi(^,r» 2) = o,

Les conditions de contact d'ordre n avec la courbe C,

au point (^o? J^o> ^o) correspondant à ^ = ^oi s'obtiennent par la même règle pratique que nous avons donnée pour les courbes planes : dans F| et F2 on remplace Xy y, z pdiv/{t), cp(^) et^j;(^); les deux /onctions ainsi obtenues

Fi[/(0, ?(0, Hn] et F,[/(/), 9(0, ^^(01

doivent s^ annuler pour t = t^ ainsi que leurs n premières dérivées,

14. Passons maintenant au contact d'une courbe et d'une surface. Etant données une courbe C et une surface S ayant un point commun M, nous dirons que la courbe et la surface ont en ce point un contact d'ordre /i, lorsqu'à un point A de la courbe C infiniment voisin de M on pourra faire correspondre sur la surface un point A' infiniment voisin de M, tel que la distance AA' soit un infiniment petit d'ordre n -\- i par rapport à MA.

Suivons toujours la même méthode. Soient la courbe C définie par les équations

et la surface par les équations

338 APPLICATIONS GÉ031ÊTRIQUES DU CALCUL INFIMTËSIXAL.

Soient l = i^j u = Uqj i' = Cq les valeurs des paramètres don nantie point commun M. On suppose que/'(^o)» ?'('o) et '}'(£o «^ ne sont pas nuls à la fois et que les trois déterminants fonctionnels ï ' (voir Chap. XI, § i )

ne s'annulent pas tous trois pour u = Wo, v = Çq,

Pour établir ime correspondance entre A et A', nous devons dé — finir u et v en fonction de /. Soient donc les développements

i; — i»o = (Al ( / — ^ ) -+- [Jij ( ^ — /.) )* -h . . . -1- (x,| ( f — /o )" —

Ecrivons encore que chacune des différences a/ — ^, y' — y et :;' — z est un infiniment petit dWdre n -h i par rapport à / — /o- Or on a

^ =/(fo) ^{t- to)/'(io) + --^-^V'

Co)

et, en remplaçant u — Uq et r — r^ par leurs développements, nous avons à annuler dans x' — x les coefficients des n premières puissances de / — /o* Il vient ainsi un premier groupe de n équations entre les 2n inconnues )v|, . . ., \„, [jL|, . . . , [jl^,,

, dF àF .,. ^ .

. ()F OF I A,(>»F . c)«F ^à^F\ ^, ,

Aï h (Jtj-.- -i- - — ( AJ y-r-f-aAi {/, h [ij 3— ) —/'(to) = O.

On a de la même manière deux autres groupes relatifs ky — y cl à y — z.

Nous avons donc in équations entre aw inconnues. Supposons,

par exemple, que le déterminant fonctionnel ^, ^ — ^ ne s'annule

pas pour u = ^/o, i' = l'o- Les deux premiers groupes permettront de déterminer les X et les [jl; en effet, la première équation du premier groupe et la première du second groupe permettent de

THÉORIE DU CONTACT. — COURBUHE. SSq

a à résoudre est toujours 77-^^ — - — -* En portant les valeurs trouvées

clans le troisième groupe, on aura les n conditions nécessaires et suffisantes pour que C et S aient au point commun M un contact d^ordre n\ la solution de la question est donc complète.

15. Les résultats sont particulièrement simples lorsque, la courbe étant définie par les équations

la surface est définie par

le point commun correspondant à des valeurs /q=i:Wo=^o ^^^^ paramètres. Les deux premiers groupes donnent dans ce cas

kl = l j Aj —= /j ==...= A/i =-: o,

Jll = I , H2 = 1X3 = . .,= [Xn = O.

Si on le préfère, on peut vérifier immédiatement que ces valeurs prises a priori satisfont à la question; ce seront les seules, puisque les équations en X et jji n'admettent qu'un système de solutions. On a donc

U — Uo—t — to-h X/i+i ( / — ^0)""^* -h . . . , t; — i^o = ^ — /o -+- [J^n+i ( / — ^0 )'*■*■* -^- • . . ;

en portant ces valeurs dans

les termes en ^ — /„ jusqu'à la puissance n disparaîtront, si

qui s'annule pour t^=to, a en outre ses n premières dérivées nulles pour cette valeur de t.

Supposons enfin la surface représentée par Téquation

Les conditions de contact s'obtiennent par la même règle p^^^' tique que nous avons donnée pour les courbes planes : dans F ^^^ remplace x, j', :; parles fonctions /(/), o{t) et •}(/).

La fonction de t ainsi obtenue s'annule ainsi que ses n [g "> ^^" mit^res dérivées pour t = t^^ si la courbe et la surface ont ^^

(•^oj^o» ^o) ^^ contact d'ordre n,

16. Faisons quelques applications de cette théorie du cont^ -acl de deux courbes ou d'une courbe et d'une surface. Pour courbe gauche donnée et en un point donné de celte courbe, notion de courbe ou de surface osculalrice appartenant à une i mille dépendant d'un certain nombre de paramètres arbitraires diffère pas de la notion correspondante pour les courbes plan< On cherchera à déterminer les paramètres arbitraires de mani< que l'ordre de contact soit le plus élevé possible : la courbe ou surface sera dite alors osculalrice .

Prenons l'équation générale d'un plan

Aa: -f- B7 -f- C^ -h D = o;

il dépend de trois paramètres arbitraires. On pourra donc, en général, déterminer un plan ajant avec une courbe donnée en un point donné un contact du second ordre. En appliquant la règle (lu paragraphe précédent, on aura

dx dt

^ dt

d^x dii

dt^

^ dt*

le paramètre t ayant la valeur correspondant au point considéré M sur la courbe. Ces deux équations donneront des quantités proportionnelles à A, B, C, et, par conséquent, la direction du plan osculateur qui, passant par M, se trouve ainsi complètement déterminé. Nous avons déjà rencontré ce plan (Chap. XI, § 5), en cherchant à faire passer par chaque point d'une courbe gauche un plan dont la caractéristique soit la tangente. Nous pouvons donc dire que la sur/ace enveloppe des plans osculateurs d'aune courbe gauche est la dé\eloppable formée par ses tangentes. Le contact du plan osculateur avec la courbe en un point quel-

conque est du second ordre. Ce contact peut-il être d'ordre supérieur? 11 faudrait pour cela que Ton eût

dl^ dt^ dt^

Celte équation, rapprochée des équations (6), donne

dx dy dz (7) d^x d^y d^z =0,

relation qui ne sera vérifiée que pour certaines valeurs du paramètre t. Les valeurs de t satisfaisant à cette équation donnent sur la courbe des points où le contact du plan osculateur est du troisième ordre. Ces points sont analogues aux points d'Inflexion des courbes planes; on les appelle les points on le plan osculateur est stationnaire.

En général, le plan osculateur à une courbe en un point est traversé par la courbe. En efl^et, désignons par A, B, C les coefficients du plan osculateur tirés des équations (6), c'est-à-dire

dy d*z dz d^y ' ~"dt 'dt^'^ di 'dF '

et les expressions analogues pour B et C. Les coordonnées x^ y, z d'un point quelconque de la courbe sont des fonctions du paramètre; si l'on donne à ^ un accroissement très petit A, on aura, pour des valeurs de h de signes difi*érents, des points qui seront sur la courbe de part et d'autre du point correspondant à la valeur / du paramètre. Ceci posé, soit l'équation du plan osculateur

Substituons dans le premier membre de Téquation de ce plan aux coordonnées X, Y, Z les coordonnées d'un point de la courbe infiniment voisin du point {x^ y^ z)^ k savoir

-, ,dx A» d^x /j» d^x

dt 1.2 dt^ 1.2.3 dt^

et de même pour Y et Z; le résultat de substitution sera

342 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL IXPIMTÉSiXAL.

Si le point n'esl pas un point où le plan osculaleur soit statio naire, le coefficient de h^ ne sera pas nul et, par conséquent, ^^ signe de ce résultat de substitution sera variable avec le signe de - '^* c^est-à-dirc que le plan osculaleur traverse la courbe.

Du calcul précédent résulte encore que la distance au plan ose ^^" lateur d'un point de la courbe, infiniment voisin du point de coi^k. nlact. est du troisième ordre.

Démontrons, enfin, une dernière propriété du plan osculate qui pourrait lui servir de définition. Ce plan peut être considé comme la limite d'un plan passant par un point M d^une cour gauche et deux points infiniment voisins M' et M" de la courb qui tendent vers M d'une manière quelconque. Soit, en eflet,

Téquation d'un plan. Désignons par a(/ ) le résultat de la substit lion dans le premier membre des coordonnées du point M. Sitcl t 4- h' désignent les coordonnées de M' et M", les résultats d la substitution des coordonnées des points M' et M" seront X(/-l-A et À(^ 4- h'). Nous avons donc les trois équations

Pur des combinaisons analogues à celles que nous avons faite pour démontrer une propriété semblable du cercle osculaleur (Cliap. XII, § 6), on déduit de là, en faisant tendre h et h' ver zéro.

Les deux dernières relations sont précisément les deux équations

k dx -^ ^ dy -h G c/w = o,

A d^x -f- B d'^-y -h G d'^z = o, qui caractérisent le plan osculateur.

Ainsi le plan osculateur jouit d'une propriété analogue à celle de la tangente d'une courbe plane, qui est la limite d'une droite passant par un point de la courbe et un point infiniment voisin. De même que la tangente à une courbe plane rencontre, en général, la courbe en deux points confondus au point de contact, pareillement

le plan osculateur, pour un point arbitraire d'une courbe gauche, la rencontre en trois points confondus en ce point. En un point d'inflexion d'une courbe plane, il y a avec la tangente trois points confondus; de même, en un point où le plan osculateur est stationnaire, il y aura quatre points de rencontre avec le plan osculateur.

17. Pourrait-il arriver que, pour tous les points d'une courbe,

le plan osculateur fût stationnaire? Le déterminant (^) serait alors

identiquement nul. Il est aisé de voir que, dans ce cas, la courbe

ost plane. Laissant de côté le cas où la courbe serait dans un plan

parallèle au plan des yz^ nous pouvons prendre x comme variable

■ ndépendante, et l'identité (7) se réduit à

d^Y d^z d*z d'^y __ dx^ dx^ dx^ dx^ ~

n l'écrivant sous la forme

dx^

d'y dx^

~ d^z dx^

*^ t, en intégrant, on obtient

dx^ ~ dx^ '

<l"où l'on conclut, en intégrant encore deux fois,

y = ç:z-^Cx-\-C\ les C étant des constantes. La courbe est donc plane,

18. Une seconde application de la théorie du contact nous sera fournie par la recherche de la sphère osculatrice. L'équation d'une

sphère

{x — a)^-^ {y — b )^ -^ {z — cY — Rs = o

renfermant quatre paramètres arbitraires, on peut choisir ces paramètres de façon que la sphère ait un contact du troisième ordre avec une courbe gauche donnée en un point donné. En remplaçant d*, y^ z par leur valeur en fonction de ^, nous aurons, pour le point

considéré, et, en posant

les équations

Ces trois équations déterminent le centre de la sphère oscula trice, et Ton peut définir d'un mot sa position. L'équation }x(/) = o en y regardant a, b^ c comme des coordonnées courantes, repré sente, en effet, le plan normal à la courbe au point (x,j', 5); en s déplaçant, le plan normal enveloppe une surface développable, e les trois équations précédentes déterminent le point où la caraclé ristique du plan normal touche son enveloppe (Chap. XI). Nou avons donc la proposition suivante :

Le centre de la sphère osculatrice est sur la caractéristiqu du plan normal et au point où cette caractéristique touche sa enveloppe,

La caractéristique du plan normal pour un point M d'une courb gauche est souvent appelée la droite polaire du point M. Cett droite polaire est perpendiculaire au plan osculateur, comme Ic^ montrent les deux équations

{\ — x)dx ^{\—y)dy ->r{Z — z)dz = o,

qui la définissent, car cette droite est manifestement parallèle à l

droite

et, par suite, normale au plan osculateur.

19. Comme exemple de courbes osculalrices à une courbe gauche, prenons d'abord la droite. Les équations d'une droite

x=az-\-p^ y = bz-\-q

dépendant de quatre paramètres, le contact pourra être seulement

du premier ordre. On aura les quatre équations

T = az -\- p, y =1 bz-\- q^ dx •= a ds^ dy = b dz,

qui déterminent les quatre coefficients. La droite ainsi trouvée est évidemment la tangente. Pour que le conctact soit du second ordre, il faudrait encore avoir

Le contact de la tangente avec la courbe sera donc du second ordre seulement pour les points vérifiant les relations

d^x d^y d^z dx dy dz

Si l'on prend pour x^ y^ z trois fonctions arbitraires d'un paramètre /, il n'j a pas, en général, sur la courbe correspondante, de points où le contact avec la tangente soit du second ordre. Pour un tel point, quand il existe, l'équation du plan osculatcur est indéterminée, puisque les trois coefficients désignés par A, B, C sont nuls; tout plan passant par la tangente en ce point rencontre la courbe en trois points confondus au point de contact.

Comme dernière application, cherchons, enfin, le cercle osculatcur à une courbe gauche en un point M de cette courbe. Le plan d'un cercle dépend de trois paramètres, et, dans ce plan, le cercle est déterminé si l'on donne son centre et son rayon. Ainsi les f^quations d'un cercle renferment 5/j: paramètres; donc on pourra déterminer un cercle ayant, avec une courbe donnée en un point donné, un contact du second ordre. Le cercle peut être défini "Comme intersection du plan

<P) i\x-\-hy-^Cz-\-\} = o

«et d'une sphère

<S) (ar — a)«-+-(7 — 6)îH-(3-c)î— p* = o.

<^ette sphère ne peut être d'ailleurs complètement déterminée; les deux équations précédentes contiennent un paramètre de trop, car, par un cercle, on peut faire passer une infinité de sphères dépendant d'un paramètre arbitraire.

Appliquons la théorie du contacl. Aux deux équations précédentes, nous devons adjoindre, d'une part, les deux équations

A dx -^ hy -^ C dz = o,

elles montrent que le plan (P) est le plan osculateur à la courbe. D'autre part, en difTérentiant deux fois Téquation (S), nous obtenons deux équations qui représentent la droite polaire, si l'on y regarde «, 6, c comme des coordonnées courantes. Donc le centre de lu splière se trouve sur la droite polaire. Comme, d'autre part, celle droite est perpendiculaire au plan osculateur, on voit que le cercle osculateur est complètement déterminé comme intersection du plan osculateur avec une sphère quelconque ayant son centre sur la droite polaire et passant en M. On peut encore dire que le cercle osculateur est le cercle du plan osculateur passant en M et ayant pour centre le point où la droite polaire, correspondant à M, rencontre le plan osculateur,

20. Je dirai peu de chose sur le contact de deux surfaces. En nous plaçant toujours, pour commencer, dans les conditions les plus générales, prenons les équations des deux surfaces sous la forme

et supposons que ces surfaces aient un point commun A(j:oî.Ko» ^o) correspondant respectivement à (^/o, i'o) et (Uo, Vo). On dira que ces deux surfaces ont au point A un contact d'ordre /i, si à tout point M de S, infiniment voisin de A, on peut faire correspondre un point M' sur S' tel que la distance MM' soit infiniment petite d'ordre n -\- i par rapport à AM. Comme il y a ici deux variables indépendantes, il est nécessaire de préciser les conditions dans lesquelles nous prenons les infiniment petits. Les coordonnées du point M s'obtiendront en donnant à Uq et r© deux accroissements n — Uo et r — r© ; nous regarderons ces deux accroissements comme des infiniment petits arbitraires, mais de même ordre. La distance AM sera alors de Tordre de u — Uq ou r — Çq, et nous

devons écrire que MM' et, par suite, (x' — x), (y — jy) el{z' — z) sont des inGniment petits d'ordre n -\- \ , La correspondance entre M et M' sera définie par deux relations de la forme

U — Uo — X, ( M — Wo ) -^ [^1 ( t* — ^^0 )

En substituant dans

ces valeurs de U et V, nous écrirons que les développements de x' — x^ y — j' et z' — z commencent par des termes de degré /i -h I en w — ;/o et i^ — To. On a ainsi à écrire

équations. Celles-ci renferment des "k et des [x, coefficients des termes en u — //© et r© — i^o jusqu'au rang n, qui sont en nombre

n a donc ^^ i équations de condition pour

qu'en un point A, qui est supposé appartenir à deux surfaces S et S', celles-ci aient en A un contact d'ordre n.

Prenons le cas très simple et toujours réalisable où les surfaces sont données par les deux équations

^ =/(U, V), 7 = Q(U, V), z = iF(U, V),

les fonctions /, F et ç, 4> coïncidant ; de plus Uo = Uo, V© = Vo^ On vérifiera facilement que, dans ce cas, la correspondance entre U et V est donnée par les équations de la forme

U — Uo = M — Wq H- . . . .

V — Vo = t' — t^o -H • . • »

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au /i**""* en u — w,, et t' — i^o ; les conditions de contact s'obtiennent en écrivant que

les dérivées partielles des deux fonctions A et "^ jusqu'au /i*''"* ordre, inclusivement, sont égales pour (wo? <'o)-

En particulier, si les deux surfaces sont données par les équations

les deux surfaces auront, au point correspondant à (^©î^'o)? un contact d'ordre /i, si les fonctions ^ et W sont égales, ainsi que leurs dérivées partielles jusqu'au rang n, pour x=:Xo^ y=zy^. Le nombre de ces conditions, où se trouve exprimé que la seconde surface passe en {oCq^ y^^ Zq)^ est donc supérieur d'une unité au nombre trouvé plus haut ; il est, par suite, égal à

Ce nombre donne à la théorie qui nous occupe un caractère propre, et la rend très différente de celle du contact d'une courbe et d'une surface, particulièrement en ce qui concerne les surfaces osculatrices à une surface donnée. Nous renverrons, pour ce point, au Cours d^ Analyse de M. Hermite (p. iSg), où on trouvera les particularités curieuses que présentent les surfaces osculatrices du second degré. Je renverrai aussi à un intéressant Mémoire d'Halphen, qui fait suite aux recherches de M. Hermite [«S wr /é* contact des surfaces [Bulletin de la Société mathématique ,

l. ni)].

rv. — Remarques sur les courbes gauches algébriques; formules de Cayley. — Courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire.

21. Nous avons appelé l'attention (§ 16) sur les points d'une courbe gauche où le plan osculateur est slationnaire : ce sont les points où le plan osculateur a, avec la courbe, un contact du troisième ordre. Si l'on se donne une courbe gauche quelconque, en coordonnées ponctuelles, c'est-à-dire si Ton prend, pour les coordonnées x^ j)', Zy des fonctions arbitraires d*un paramètre /, la courbe possédera des points de la nature indiquée, car la condition qui leur correspond s'exprime par une équation unique en /. Nous allons nous borner aux courbes gauches algébriques : x^y^ z

seront alors des fonctions algébriques arbitraires d'un paramètre/. D'autres singularités se présenteront d'une manière normale si, au lieu de se donner la courbe en coordonnées ponctuelles, on se la donne en coordonnées tangenticlles, c'est-à-dire si l'on se donne la courbe comme arête de rebroussement de la surface développable enveloppe d'un plan mobile

Ax -\- By -h Cz -h D = o,

où A, B, C, D sont des fonctions d'un paramètre a. 11 va se présenter ici ce qu'on a rencontré dans l'étude des courbes planes, où les points d'inflexion se rencontrent d'une manière normale dans les courbes données arbitrairement par une équation en coordonnées ponctuelles, tandis que ce sont, au contraire, les points de rebroussement qui se présentent d'une manière normale dans les courbes données arbitrairement par une équation en coordonnées tangenticlles.

Reprenons le plan mobile dont l'équation est écrite ci-dessus. La courbe sera donnée par les trois équations

i A x-^B y-i-C z^D =o, (8) I A'^-hB>-+-G'^-hD'=o,

( A'x -^ By H- Cz T- D' = o

qui donnent x, y, z en fonction du paramètre a. A ces équations, adjoignons la suivante

Pour a arbitraire, il n'y aura pas de valeur de x, y^ z satisfaisant à ces quatre équations. Mais une seule relation en a exprime que ces quatre équations ont une solution commune.

Soit a© une valeur de a vérifiant cette relation. Le point correspondant est dit un point stationnaire de la courbe. Il ne faut pas confondre les points stationnaires avec les points considérés précédemment où le plan osculateur est stationnaire.

En général, c'est-à-dire si A, B, C, D sont des fonctions quelconques de a, un point stationnaire n'est pas un point simple de la courbe, mais est à considérer comme l'analogue du point de rebroussement de première espèce dans les courbes planes. Pour

35o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

le (lémonirer, nous allons faire voir que, pour ce point, on aura^

en général,

dx = dy = dz = Of

les quotients -f- ^^ -t- ayant une valeur unique; il en résultera

l)ien que le point stationnaire pourra être regardé comme un point (le rebroussement de la courbe gauche.

Les deux premières équations (8) donnent, quel que soit a,

A dx-hB dy -h C dz -^ o, A' dx -+- B' dy -f- C dz = o.

On a, d'autre part, a étant toujours arbitraire,

A" dx 4- B* t/j -+- C dz -f- doLiX^x -t- B> -4- C"^ h- D*") = o:

A' dx H- B' dy H- G' dz -^ o.

Nous avons donc trois équations homogènes en rfjc, dy^ dz^ dont

bien, par suite,

dx = dy = dz = o

pour le point stationnaire ; quant aux rapports de dx^ dy^ dz^ ils sont, en général, déterminés par les deux équations écrites plus haut.

22. Il résulte de ce qui précède que, si Ton veut introduire, <lans l'étude des courbes gauches algébriques, les singularités qui se rencontrent nécessairement dans une courbe ou dans sa transformée |>ar polaires réciproques, on doit envisager à la fois les points où le |>lan tangent est stationnaire et les points stationnaircs. C/est ce que l'on fait en Géométrie plane dans les formules <le Pliicker ; M. Cajiej a donné pour les courbes gauches algébriques des formules très intéressantes qui sont les analogues de celles de Pliicker : nous allons les étîiblir (*).

( • ) Mcinoire sur les courbes à double courbure et les surfaces développables, par \. Caylcy {Journal de Liouville, t. X; iSijS ). — Voir aussi la Géométrie à trois dimensions de Sulmon.

Introduisons d'abord cerlains nombres entiers qui vont jouer un rôle essentiel. Les tangentes à la courbe gauche C forment une surface développable dont nous désignerons le degré par r. Représentons ensuite par n le nombre des plans osculateurs que Ton peut mener à la courbe par un point arbitraire de Tespace. On appelle r le rang et n la classe de la courbe gauche. Nous désignerons par a le nombre des points où le plan osculateur est stationnaire et par j3 le nombre des points stationnaires.

Nous avons encore quatre nombres à définir. Le plus important est le nombre des sécantes doubles de la courbe qui passent par un point arbitraire de l'espace ; désignons-le par h. Il représenle le nombre des points doubles apparents de la courbe, c'est-à-dire le nombre des points doubles de la perspective de la courbe quand on la projette coniquement d'un point de vue arbitraire sur un plan quelconque.

Prenons ensuite un plan arbitraire ; il y aura dans ce plan un certain nombre de droites par lesquelles on pourra mener deux plans osculateurs à la courbe gauche ; leur nombre est g.

Un plan arbitraire peut contenir un certain nombre œ de points qui soient à la rencontre de deux tangentes à la courbe gauche.

Enfin, par un point arbitraire, on peut mener un certain nombre de plans tangents en deux points à la courbe : y représentera leur nombre.

23. Commençons par rappeler les formules de Pliicker relatives aux courbes planes. En représentant par [jl l'ordre d'une courbe, par v sa classe, par o le nombre de ses points doubles, X de ses points de rebroussement, t de ses tangentes doubles, /' de ses points d'inflexion, on a les deux équations

V— p.(|i. — i) — ao — 3x, i = 3[jl(jji — 2) — 60 — 8x,

auxquelles il faut joindre les deux suivantes

JX = v(v — 1) 2T--3i,

x = 3v(v — 2) — Gt — 8<.

Ces formules se réduisent d'ailleurs à trois, car les deux pre-

inièrcs et les deux dernières conduisent à la même relation

24. Ceci posé, considérons la surface développable, formée par les langenles à la courbe C, et son intersection avec un plan quelconque P. Cette intersection F est une courbe d'ordre r; sa classe est évidemment égale à /?. Un point double de F correspond à deux tangentes de C se coupant sur le plan P; F aura donc x points doubles.

D'aulrepart, le nombre des tangentes doubles de cette courbe* est égal à g, puisque une tangente double doit provenir de Finlerscction de deux plans osculateurs de la courbe située dans P. Enfin la courbe F possède m points de rebroussement qui sont les intersections de C avec le plan P, et elle a a points d'inflexion.

Nous aurons donc

n~ r{r — i)—ix — 3/;i, /• = n{n — i) — 2^ — 3 a,

a = 3 r( r — 'i)—'Ox — 8 /«, m = 'in(n — 'i) — 6^ — 8 a,

et ces équations se réduisent à trois relations distinctes.

Un autre système d'équations est fourni par la considération du cône a}ant pour sommet un point arbitraire et passant par la courbe. Considérons une section plane quelconque Ide ce cône. Son degré sera égal à /7) ^ sa classe sera égale au nombre des plans tangents qu'on peut mener à la courbe C par une droite arbitraire, et sera par conséquent égal iiu nombre des tangentes de C rencontrant cette droite, c'est-à-dire r. Les points doubles de S correspondront aux droites doubles du cône, et par suite aux sécantes doubles de C ; leur nombre est A. Le nombre des tangentes doubles sera j-, d'après la défînition même de y. Les points de rebroussement de S proviendront des points stationnaires : leur nombre sera p. Enfin les points d'inflexion correspondent aux n plans osculateurs menés par le sommet à la courbe C. On a par suite les formules

r= m{m — i) — 2^—33, /m = r{r — i) — ^y — 3/i, n = 3/ii(m— a) — 6/* — 8?, ? = 3r(r — a) — 6^ — 8/i,

et nous avons là seulement trois relations distinctes.

Eo résumé, nous avons six relations entre les neuf quantités

Six d'entre elles peuvent être déterminées en fonction des irois autres.

25. Cherchons ce que nous donneront les formules précédentes pour une cubique gauche.

On sait qu'on appelle ainsi l'intersection incomplète de deux surfaces S et S' du second degré ayant une génératrice commune D.

Soit A un point quelconque de l'espace; considérons la surface du second degré, représentée par l'équation

S -h XS'= o,

passant en A. En ce point on peut mener sur la surface deux génératrices rectilignes; la génératrice de même système queD rencontrera la cubique en deux points.

Ce sera donc une sécante double de la cubique, passant par A, et ce sera évidemment la seule, car toute autre sécante double ayant trois points communs avec la surface S -|-).S'==o doit coïncider avec la génératrice considérée. On aura donc /t = i.

D'autre part a est nécessairement nul, car un plan osculateur ne

peut rencontrer la cubique gauche en quatre points.

Ayant

nous pouvons trouver les six autres nombres. On obtient ainsi

I>a solution ^ = o était évidente a priori, une cubique ne pouvant avoir de point stationnaire. La développable formée par les tangentes à une cubique gauche est du quatrième degré {r = 4)> et enfin par un point quelconque de l'espace on peut mener trois plans osculateurs à une cubique gauche {n = 3).

Au sujet des plans osculateurs menés par un point A, Chasles a

établi une proposition élégante, dont la démonslralion se rattache

d'ailleurs aux considérations précédentes. En prenant le point A

comme point de vue, projetons la cubique gauche sur un plan

quelconque. Cette perspective sera une courbe du troisième degré avec un point double; les projections des points de contact et des plans osculateurs menés de A à la cubique seront les points d'inflexion de cette courbe plane. Or celle-ci, ajant un point double, a trois points d'inflexion situés en ligne droite. Nous avons donc le théorème suivant :

Les trois points de contact des plans osculateurs menés d'un point arbitraire A à une cubique gauche sont dans un plan passant par le point A.