Reprenons les équations du système (S

du dv du dv

dx ~ dy dy dx

et supposons que, outre les dérivées du premier ordre, les fonctions u et (' aient des dérivées du second ordre elles-mêmes continues (*). On tire des deux équations précédentes

et, par suite.

et la fonction v satisfait à la même équation.

Réciproquement, soit une fonction u{x^y') satisfaisant à l'équation ' , , d^u d'-u

On pourra déterminer une fonction^telle que u-i- iv soit une fonction analytique de a: -h iy. La fonction v est donnée par l'intégrale curviligne

r**'^' du ^ du ^

d^u dx-'

d^v d^u ' dy dx ' dy'^

d^u d^u dx^-^dyi^^""'

d^v dx dy

(*) Nous établirons plus tard que Texisience des dérivées partielles de tout ordre pour les fonctions u ei ç est une conséquence de l'existence des dérivées du premier ordre.

intégrale où la condition d'intégrabililé est satisfaite, puisque Téqualion (2) est supposée vérifiée. La fonction i^ est déterminée à une constante près, puisque la limite inférieure {xq, yo) est arbitraire.

Le résultat précédent est extrêmement important. Il montre que Télude des fonctions d'une variable complexe se ramène à l'étude de l'équation

c'est-à-dire à l'équation de Laplace pour le cas de deux variables. Suivant une désignation introduite par les géomètres anglais, nous appellerons/o/ic^^o/i harmonique toute fonction satisfaisant à l'équation précédente.

Dans les écrits de Cauchy et de la plupart de ses disciples, l'équation précédente intervient peu, et l'on raisonne sur la fonction complexe elle-même /(^z) de la variable z. La simplicité et Tuniformité des raisonnements font de cette théorie une des plus attrayantes et des plus parfaites de l'Analyse mathématique (*). A la suite d'un Mémoire fondamental de Riemann (2) l'étude des fonctions d'une variable complexe a été ramenée de nouveau à sa véritable origine, à savoir l'étude de l'équation de Laplace ou du système (S). Ce point de vue est assurément plus philosophique; il a le grand avantage de laisser de côté lout symbole, et la théorie des fonctions d'une variable complexe est, en définitive, l'étude de deux fonctions associées u et v de deux variables réelles x ety satisfaisant aux deux équations

/«:\ au dv du dv

dx~~ dy* dy " àx

il ne faudrait cependant pas être exclusif. Le symbolisme a, dans certains cas, ses avantages, et bien des résultats extrêmement simples deviendraient d'un énoncé compliqué si l'on voulait

(>] Le Traité classique de Briot et Bouquet sur les fonctions elliptiques, dont la première moitié est un exposé de la théorie générale des fonctions, est fait systématiquement à ce point de vue.

( ' ) Grundlagen fur eine aligemeine Théorie der Functionen einer verander lichen complexen Grosse {Œuvres complètes).

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9 CAâPITRB I.

ne jamais introdaire de quantités complexes. Après avoir donc fait Tétade de Téquation de Laplace, que noas allons tont d^abord entreprendre, nous reviendrons ensuite à la fonction complexe

7. Il ne sera pas sans intérêt d*indiqaer, dès à présent, une première généralisation du système (S), qui est de M. Beltrami ('). Considérons une surface S pour laquelle le carré de Télément d^arc ds est exprimé, à i*aide des variables p et q^ par la formule

E, F, G étant des fonctions de/7 et ^ (l. 1, p. 44^)- Soient uei v deux fonctions de/» et ^ telles que

A ne dépendant pas des différentiel les.

En changeant, s'il est nécessaire, i' en — t? et remarquant que Edp^-^ i¥ dp dq -^ G dq^

où

H = /EG- F*, on aura

du -*- i dv = \i.\ v/Ë dp -i — — dq 1 ,

et, par suite,

du ,dv /-

du .dv F-^iU

d*où l'on conclut, en éliminant [x,

^\du .r^"| rc -itir*^" •^''1

p ) E. Beltrami, Délie variabili complesse sopra una superficie qualunque {Annali di Afathematica, i* série, i. 1 ^

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ce qui revient à

aq dp dp

oq dp dp

relations que nous metlrons sous la forme

^ dp dq

dv __ àp dq