KG — F
Tel est le système (S') qu'on peut regarder comme une généralisation du système (S). La combinaison u H- is> peut être appelée une fonction complexe du point (p, q) sur la sur/ace S.
La fonction u satisfait évidemment à Téquation
d^l ^"" ^ ) d^( ^~" ^ ) dp \ /EG - F* / "*" (^y \ v/EG — F* / - ^•
Cette équation est sur la sur/ace S l'analogue de l'équation de Laplace sur le plan. On reconnaît d'ailleurs immédiatement que la fonction s? satisfait à la même équation.
Il existe une dépendance très simple entre deux fonctions complexes u -h «V et a' H- W sur une surface S. Des relations
du!
on conclut
du -^ i dç = Il I /E dp H — — dq ,
^^^Edp^-^dq^^
du' ■+■ idv' = —idu-^ i dv ),
c'est-à-dire que a' -f- fV est une fonction analytique de u-i- «V ( ').
(>) On consultera avec grand intérêt sur ce sujet le Volume de M. Klein intitalé : Ueber Biemann*s Théorie der algebraischen Functionen und ihrer Intégrale; Leipzig, 1882.
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II. — Formule fondamentale. Les fonctions harmoniques sont analytiques. Détermination unique des fonctions harmoniques par leurs valeurs sur un contour fermé.
8. I.a formule de Green établie dans le cas de Tespace (t. I, p. i54) 81 son analogue dans le plan. Soient U et V deux fonctions continues de :c et jk ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre à l'intérieur d*un contour C; formons l'intégrah; double, étendue à Taire que limite cetle courbe,
J J Idx dx &y ày \ -^ En se servant de IMdentité
dx ~ dx\ dxj (
à^ày à /^ à\\ ^j d^y dx âx ~~ dx\ âxj âx^
on a de suite
et pareillement
et, par conséquent, ou
la dérivée ,- étant prise dans le sens de la normale intérieure A an ^
la courbe.
Cette formule nous sera très utile. La formule de Green s'obtiendra en permutant U et V dans le second membre, ce qui ne change pas le premier. On en conclut
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En particulier, si Ton fait U = i , on aura
Une remarque est ici nécessaire, relativement à la dérivée -3-
prîse dans le sens de la normale intérieure. Et, d'abord, comment définir d^1ne manière générale la normale intérieure? Nous avons défini (t. I, p. 90) le sens positif sur un contour C, en nous servant d'une petite circonférence (y) décrite dans le sens de Ox vers Gy par rapport à son cenire P. Cette circonférence (y), transportée dans le voisinage et à Yintérieur du contour C, de manière à être langenlc en un point A du contour, fixe sur celui-ci la direction de la normale intérieure, qui est celle qui va du point A au point P.
Celte direction fait un angle -f- 7 avec la direction positive de
la tangente, mais elle est absolument déterminée, quelle que soit la disposition des axes O^, Oy, il en est de même des cosinus des angles que la normale intérieure fait avec les axes de coordonnées, de telle sorte que la dérivée
-r- = — cos(j^./i) -T- T— cos(/./i), an dar ôy "^
|>rise dans le sens de la normale intérieure, a bien, comme on devait s'j attendre, une signification déterminée indépendante du sens qui se trouvera être le sens positif sur le contour.
Xd\ U -,— ds. Dans
une pareille intégrale, on considère ds comme un élément essentiellement positif; elle est complètement déterminée par ce fait
dV que -^ est prise dans le sens de la normale intérieure, et, dès
lors, il n'y a pas lieu de. parler du sens dans lequel on effectue l'intégration sur le contour.
9. Indiquons, comme applications de la relation (3), quel(|ues problèmes de Physique mathématique où intervient l'équation AV:=o.
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Un de ces problèmes est relatif à la distribution de la température dans une plaque isotrope en équilibre caloriGque. Nous n^avons pas à rappeler ici comment Fourier, dans sa Théorie mathématique de la chaleur, a été conduit à montrer que la quantité de chaleur qui, dans le temps dt^ passe à travers un arc ds du plan est représentée par
an
-r- désignant la dérivée de la température V dans le sens de la
normale à l'arc ds et K un coefficient constant. L'équilibre calorifique étant supposé établi, la température V ne dépendra que de X et y. Considérons une courbe fermée C; la quantité de chaleur passant, dans l'unité de temps, à travers cette courbe C, sera représentée par l'intégrale
-i— as.
Or, cette quantité de chaleur devra être nulle; dans le cas contraire, en efiet, la chaleur s'accumulerait à l'intérieur de C et la température varierait avec le temps. On doit donc avoir, pour toute courbe fermée,
—r- ds = o, du
ce qui entraîne, d'après la formule (3),
Ç f\\dxdy = o,
pour une aire quelconque. On doit donc avoir identiquement
AV=o.
En transportant, comme Ta fait Ohm, de la chaleur à l'électricité les principes de Fourier, on aura la même équation pour le potentiel électrique V dans une plaque conductrice traversée par des courants permanents.
Un troisième exemple nous sera fourni par le mouvement permanent sur un plan d'un fluide incompressible et homogène. Soient u(x,y) et i^{x^y) les projections sur Ox et Oy de la vitesse de la molécule fluide coïncidant, à un certain moment,
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FONCTIONS D*UNE YARIABLE COMPLEXE. l3
avec le point {x,y). Considérons un élément, que nous pouvons supposer rectiligne ds^ et qui passe par (5;, y); nous allons évaluer la masse du fluide passant pendant le temps dt par cet élément. Cette masse sera sensiblement celle d'un parallélogramme de base ds^ et dont l'autre côté a pour projections sur les axes udt elv dt. Si cosa et cos^ désignent les cosinus directeurs de la normale à 6^^, la masse sera alors
p ( M cos CL -^ V co%^) dt ds
p désignant la densité superficielle du fluide.
Or, la masse contenue à l'intérieur d'une courbe fermée C ne peut changer pendant la durée du mouvement^ puisque le fluide est incompressible et homogène; on aura donc
/ ( M COS 1-^- V COS ^)ds — o.
Or, supposons que u et v soient les dérivées partielles d'une fonction ^{oc^y)^ ce qui correspond au cas où il n'y a pas de tourbillons dans le fluide. On aura alors
ou bien
do ,
-ri- as = o.
^dn
On en conclut que la fonction o, appelée potentiel des vitesses (*), satisfait à l'équation
Ao = G.
Les considérations précédentes, relatives au mouvement d'un fluide sur un plan, peuvent être étendues au mouvement permanent d'un fluide sur une surface; c'est ce qu'a fait M. Klein dans l'Ouvrage que nous avons déjà cité, et auquel nous renverrons (p. 9). On retombe ainsi sur les équations de M. Beltrami indiquées dans la Section précédente.
( ' ) Pour tout ce qui concerne les applications de la théorie de l'équation de Laplace à la Mécanique des fluides, on étudiera surtout l'admirable Traité de Kirchhoff : Vorlesungen ûber mathematiache Physik.
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l4 CHAPrTRE I.
