Nous pouvons poser

en désignant par z la variable x -h îy. Les fonctions u et i> admettant des dérivées premières sont continues dans une certaine étendue; on dira qu'il en est de même de la fonction f{z)^ et l'on en conclut immédiatement qu'on pourra donner à la quantité complexe h un module assez petit r^ pour que l'on ait, quelque petite que soit la quantité positive e,

|/(z-+- A) -/(«)!<£, pour |/ii<r„

le signe | | représentant maintenant le module de la quantité complexe.

Nous avons dit que f{z) avait une dérivée unique. En la désignant par /' ( 3), on a

du .dv

f'(z)= ^H-i~ = ^^*^, dx dx i

Passons à la notion à^ intégrale pour une fonction analytique f{z). On suppose que la fonction f{z) et sa dérivée f'{z) soient des fonctions bien déterminées et continues (*) pour tout point (:r,^) situé dans une certaine région du plan à contour simple. On entend par l'intégrale définie

f(.^)dz,

prise le long d'une courbe C située dans cette région et allant du point Zq au point Z|, Tinlégrale curviligne prise suivant cette courbe

/ {u-\-iv){dx-^idy), Je c'est-à-dire

J' {udx — vdy) -i- i I (vdx -^ udy). c •^c

Un théorème fondamental de Caucliy est que cette intégrale est indépendante du chemin suivi pour aller de Zq en Zi,

(*) Nous verrons au Chapitre V' que ces hypothèses ne sont pas distinctes.

GoogI(

La démonslralion est immédiate, si l'on se reporte aux propriétés fondamentales des intégrales curvilignes (t. I, p. 82). Les conditions pour que ces deu& intégrales soient indépendantes du chemin suivi s'expriment en effet par les relations

au

dx

du

qui ne sont antre chose que les équations du système (S).

-4. Considérons la limite supérieure z^ comme variable, et désignons-la par :;. L'intégrale

F(z)r=J''/(z)dz

sera une fonction de z. C'est une fonction analytique; écrivons-la en eOet sous la forme

f (udx — vd/) -r- i j (vdx-^ucty).

En désignant par P et Q les deux intégrales qui figurent dans l'expression précédente, on a

àP dq

dP âq

~ôy '~ ^ dx " '

Les deux équations -r- = 3-^> :;- = — -^ sont donc vérifiées. T dx dy dy dx

La dérivée de F (5) est égale à

à^ ,dq , :. j.

-j ^'tt^» c est-à-dire u-hiv,

et nous avons par suite le théorème fondamental, tout à fait analogue à celui qui se présente dès le début du Calcul intégral pour une fonction d'une variable réelle, et qui est exprimé par l'égalité

GoogI(

5. Les diverses remarques failes à projïos des intégrales curvilignes, dans le cas où la condition d'intégrabililé est remplie, s'étendent aux intégrales d'une fonction analytique. Ainsi l'intégral e

prise le long d'un chemin fermé situé dans une région du plan, limitée par plusieurs contours, à l'intérieur de laquelle la fonction /{z) est bien déterminée et continue, ne change pas de valeur quand le contour se déforme sans traverser aucun des contours limites.