GÉNÉBAL1TÉ8 SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES

donc prendre arbitrairement

des quantités a. Ce nombre devra être au moins égal à trois pour que la courbe ne soit pas plane; donc

Or nous avons vu (Chap. VI, n° 17) que

î^^dx— /)-4-a)(<JH i).

On a donc à la fois

La première inégalité est donc vérifiée pour <t = 3 -f-/> — [x, ce qui donne

Donc, quand cette condition est remplie {les modules étant quelconques), on aura une courbe gauche correspondant à f.

3. Évaluons le nombre des constantes pour les courbes gauches envisagées au numéro précédent. Nous avons d'abord les

3/> — i modules de la courbe, puis les pôles restant arbitraires en nombre

et ensuite les

quantités a, ^, y et enfin les trois constantes A, B, C; le tout

donne

4 |JL -t- <j(/? -+- 3 — a — [xV

Si Ton prend o- tel que

[JL— /?-i-<J=3,

on aura le nombre 4 Y" ^^ nombre 4 ^ est ici le maximum, puisque

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SjO GBAPITRE XVIII.

Or les familles correspondant à des valeurs de <t, telles que (x> 3 -+-/>— II, sont visiblement des cas particuliers de celles où

<T = 3 -f- /? — fJL.

Nous avons donc encore 4[a arbitraires, quand

les modules de la courbe algébrique étant d'ailleurs arbitraires. Ce résultat remarquable est dû à M. Nôther (/oc. cit.). Nous retrouvons le même nombre que pour les courbes du numéro 1.

4. Revenons, pour terminer ces considérations, sur les courbes du numéro 1, c'est-à-dire sur le cas où

Il est facile de voir que toute courbe plane de degré \l ayant h points doubles {la condition précédente étant remplie) est la perspective d'une courbe gauche de degré [jl.

Soit en effet

la courbe plane. Prenons comme pôles les [x points de la courbe à l^infini; écrivons

z = G-h YiEi-{-...-|-YjjlE|a.

Comme [jL^/?-h3, on peut certainement trouver une fonction z qui n'est pas une fonction linéaire de x et y^ comme il résulte du théorème de Riemann-Roch. On a donc, pour les équations précédentes, une courbe gauche, dont la courbe plane / est la perspective.

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