GÊNÉBALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES
II . — Représentation des courbes gauches au moyen des monoldes.
5. On peut emploj^er, pour les courbes gauches, un autre mode de représentation. Les axes de coordonnées ayant une position arbitraire par rapport à la courbe, projetons, sur le plan des xy^ la courbe parallèlement à Taxe des z\ on aura ainsi (en désignant maintenant par d le degré de la courbe gauche) la courbe plane
avec h points doubles, si h est le nombre de points doubles apparents de la courbe gauche. A un point arbitraire de cette courbe plane correspondra un seul point de la courbe gauche; on aura donc, pour z^ une fonction rationnelle de x et j^, et la courbe gauche sera représentée par les équations
(2) is^ii^iZi.
La courbe x(^î J^) = ^ passe par les points doubles de <p, ainsi que la courbe 4 := o.
Pour les h points doubles de ^, on a deux valeurs pour z. Il faut que <{/ s'annule pour les points communs à y^ et à o, afin que
^ reste finie pour tout point à distance finie de o = o; car notre
courbe gauche n'a pas de point à Tinfini dans la direction de Taxe Oz (les axes ayant été arbitrairement choisis).
Enfin, en faisant une transformation homographique, on peut supposer que ^ est de degré v et ^ de degré v + 1 (v étant un nombre qui, a priori, peut être quelconque).
Les deux équations (2), en fait, définissent non seulement la courbe gauche, mais, en outre, un certain nombre de droites parallèles à O^, qui correspondent aux solutions communes aux trois équations
?(^,^)=o, ^{x,y)^o,, x(^,y)=o. On se rappellera que, des trois courbes précédentes, la première
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est de degré d (degré de la courbe gauche) avec h points doubles, les deux autres sont de degré v -f- 1 et v ; la courbe y passe par les points doubles de cp, et la courbe ^ passe par les points communs aux deux autres. M. Cayley appelait monoïde la surface représentée par l'équation
cette monoïde est de degré v + 1 avec un point multiple d'ordre v à l'infini dans la direction de Taxe O^.
6. Halphen, dans ses célèbres travaux sur les courbes gauches, s'est beaucoup servi de la représentation précédente. Celle-ci peut être faite de bien des manières. En effet, si i/^ et y j sont deux polynômes en x et y^ tels que
soit divisible par ^ , on aura évidemment
comme nouvelle représentation de la courbe gauche. Voici, à ce sujet, un théorème fondamental :
Soit yj{xyy) un polynôme s' annulant aux points doubles de ©, on pourra trouver un polynôme i/x correspondant, tel que la courbe soit donnée par
Pour l'établir, envisageons le résultant R(^) provenant de l'élimination de y entre les deux équations
on aura
R(ar)=Mç-^Nx,
M et N étant des polynômes en x et y. On en déduit (3) B(^).*.Xi = AxH-B7,
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