Nous allons maintenant, relativement à l'équation à deu

lermes

AV = o,

développer une théorie toute seml)lable à celle que nous avons étudiée (t. I, p. i5t)) pour Téquation à trois termes. La seule différence va consister en ce que nous nous sommes servi précédemment de la solution particulière U -- - > tandis que, maintenant, c'est la fonction de /*, représentée par log/', qui sera prise comme solution particulière [/* désignant toujours la distance d'un point variable (^,y) à un |)oint (a, 6)].

Si U et V sont deux fonctions harmoniques continues ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres dans un contour C, on a, d'après la formule de Grcen,

dn dn /

Nous supposons la dérivée prise dans le sens de la normale intérieure à l'aire.

Une remarque est indispensable. Pour pouvoir appliquer en toute sécurité cette formule, on devra le plus souvent supposer que, non seulement les fonctions U et V sont continues dans l'aire limitée par G et sur C lai-même^ mais qu'il en est de même des dérivées partielles du premier ordre de U et de V; dans ces

conditions, on est assuré que -j- et -r- ont un sens bien déter-

T dn dn

miné, et l'application de la formule ne prête à aucune difficulté. Ceci posé, V étant une fonction jouissant des propriétés indiquées, prenons

U = logr, où

En supposant le point A(a, b) à l'intérieur de l'aire, décrivons, de A comme centre, avec un rayon p, un cercle F, et appliquons la formule de Green aux deux fonctions V et logr pour Taire limitée par les courbes C et F. Il vient ainsi

Cl, dS ^,d\offr\^

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. l5

l'intégrale élant prise le long du conlour total. Les dérivées sui- 'A'^ant les normales, qui figurent dans cetle intégrale, sont prises suivant la normale intérieure à Taire. Si donc on veut considérer, pour la courbe F comme pour la courbe C, les normales intérieures à la courbe géométrique elle-même, on devra écrire

Celte dernière intégrale est facile à calculer. La première partie

est nulle d'après la relation (3). D'aulre part

dlosr \ dr \ , s

—-j = - -T~ = cos(r, n),

an r an r

en employant les mêmes notations qu'au Tome I, p. la^ : or, sur

la circonférence,

cos(/', /i) = i;

donc l'intégrale du second membre se réduit à

- f\ds.

Elle doit être indépendante du rayon p du cercle F : or, pour p très petit, elle diffère très peu de

V(a, b) désignant la valeur de V eu A; elle est donc rigoureusement égale à cetle quantité, et l'on a la formule fondamentale

11. Dans le cas où le contour C se réduit à un cercle, on peut transformer l'intégrale donnant V(a, b) en une autre, qui ne contienne plus que V. C'est la même transformation que nous avons faite (t. I, p. i6i). Employant les mêmes notations, nous aurons

GoogI(

l6 CHAPITRE I.

les deux relations

v«-.')-ijrKS-v^)''-

Il suffira de retrancher ces deux formules pour avoir

puisque — est constant pour tous les points du cercle. Des deux relations {loc. cit.)

/î — R«h /'« — '^Rr costp, /} = RÎ-+- r| — îRriCOS©!,

on lire de suite la valeur de

dXo^rx dXo^r dn dn

c'est-à-dire de

COSCp COSÇi

en se rappelant que

On trouve ainsi

//j = R» et

V(R»— /«)rfs

formule qui donne, dans le cas du cercle, la valeur de la fonction V en un point (a, b) quelconque du cercle en fonction de ses valeurs sur la circonférence.

Si nous introduisons les coordonnées polaires (r, ©) du point (a, b) (on fera attention que r etcp n'ont pas la même signification que précédemment et que r notamment remplace /), la formule précédente pourra s'écrire

(4) V(a,6) = -j^ R»^.Rrcos(^-y;-.r»^^'

GoogI(

Nous avons déjà étudié l'intégrale précédente (t. I, p. 268) sous le nom AHntégrale de Poisson; nous avons seulement fait R = I , ce qui, à cause du degré zéro d'homogénéité de l'intégrale en R el r, n'a aucune importance.

IS. De l'expression (4) de la fonction V on conclut d'abord que, si une fonction harmonique bien déterminée et continue pour toute valeur de ^ et j^ reste toujours moindre, en valeur absolue,

qu^une quantité fixe M, elle doit nécessairement se réduire à une constante. On a, en effet, en désignant par Vo la valeur de la fonction à l'origine, el quel que soit le rayon R > r du cercle G,

^ '^t^Jq r*— 2rRcos(4' — ç)

Or 5-; 5 — T 1^ X : esl moindre en valeur absolue que

(R-ry

• On aura donc

\\T/ u\ \j \ ^ ^ r I vi^''(*^-^'')^i ^ 2r(R-4-r |V(a,ô)-Vo|<- / IVI ^^^^, ^^.<-^^—

Or R est aussi grand que l'on veut; par suite, la quantité fixe I V(a, b) — Vo I est rigoureusement nulle.

Nous retrouverons plus tard cette propriété, sous le nom de théorème de Liouçille, à propos des fonctions d'une variable complexe.

13. Une autre propriété très importante de la fonction harmonique résulte encore de l'intégrale précédente.