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l8 CHAPITRE I.

Définissons seulement auparavant ce que nous entendons par fonction analytique de deux variables réelles x et y. Nous dirons qu'une fonction réelle et bien déterminée /(j:, ^) des deux variables réelles x el y est analytique dans une certaine région du plan, quand, dans le voisinage de tout point (^o^JKo) ^^ cette région, on peut représenter la fonction par un développement en série

/(^, y) = ?o-+- «piC^, r) ■+-•••-+- ?/n(ar, ^) -r-

rfm désignant un polynôme homogène de degré m en ;r — ^o et y — ^oj ce développement étant valable pour toutes les valeurs Ae X et y pour lesquelles

\x — Xo\ et |r~-rol<pî

p étant une quantité suffisamment petite, et si, de plus, la série ne cesse pas d*être convergente quand on remplace, dans tous les polynômes ^, chaque terme par sa valeur absolue.

Il est aisé de démontrer que la dérivée d'un ordre quelconque de la fonction f{x^y) peut se représenter par la série formée avec les dérivées du même ordre des fonctions <p; c'est une conséquence immédiate des propriétés des séries entières d'une variable étudiées précédemment (t. I, p. 211), puisque, l'ordre des termes étant indifférent, on pourra, avant chaque différentiation, ordonner la série suivant les puissances de la variable par rapport à laquelle on intègre. Ajoutons que, les coefficients du développement représentant, à un facteur binomial près, les valeurs des dérivées partielles de la fonction pour ^ = e , y = a, un tel développement ne peut être identiquement nul sans que toutes les fonctions <p soient identiquement nulles.

14. Cette définition bien comprise, nous allons montrer que toute fonction \ satisfaisant à V équation AV=o, continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans une certaine aire, est une fonction analytique.

Soit un point quelconque de l'aire que nous allons prendre pour origine, décrivons de ce point comme centre un cercle de rayon R. Reportons-nous à la formule (4) qui détermine V(a, b)

en un point quelconque (a, b) de ce cercle. On a

R*— aR/cosO-f-r* R-^e*0 R,.e-*e' or

R rc'« ^R ^ ^ R« ^R«R re/e'

avec une idenlilé analogue en changeant i en — ^*. On aura donc

Rî — r« \y r'^ / , x

R^^aRrcos(4.-^?)^r«='-^"2iR^^"^^(^~^)

"*" R« [r — re't'l'^-?^ "^ R — rc-^i'î'-Ç'J '

En substituant dans Tintégrale, et remarquant que le reste tend vers zéro^ puisque ^r est plus petit que Tunité, on obtient la relation

V(a, ^) = Y "^ 2 (s) [^«<^^s/i(p -f-6«sin/icp],

en posant

f(ày désignant la valeur de V sur le contour.

Le développement précédent a pour terme général un polynôme homogène et de degré n en a el b; en eflet,

a = rcosçp, 6 = rsinçp, (a -+- ib)^=^ r^cos/K» h- iV'» sin/icp :

donc /""cosncp et r'^sinnv sont des polynômes homogènes de degré n.

Nous avons donc pour V(ûr, b) un développement de la forme

?o-+-?i(a, 6)-4-...-ho,n(a, ^)-+-

Or, si dans ©/»(«? b) on remplace chaque terme par sa valeur

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absolue, l'expressioo trouvée sera moindre que

en désignant par M la limite supérieure, évidemment existante, des valeurs absolues des coefficients an et bn- Or soit

|a|<p, I^Kp:

le terme général de la série, chaque terme particulier ayant été remplacé par sa valeur absolue, sera inférieur à

si donc p < -> la nouvelle série sera encore convergente. Nous

sommes donc assuré que, pour

la série qui représente V(a, b) converge de là manière indiquée dans notre définition d'une fonction analytique. La fonction V est donc analytique.

Le théorème précédent pourrait encore se déduire de la formule fondamentale du paragraphe 10, en s'appuyant sur ce que, pour une valeur donnée de x et^, l'expression

est une fonction analytique de a et 6 dans le voisinage de tout système de valeurs distinct de {x^y). Sans insister, contentonsnous de dire que, dans la formule fondamentale, tous les éléments sont des fonctions analytiques de a et 6, et qu'il en est alors de même de l'intégrale, c'est-à-dire de V(a, b),

IS. En désignant maintenant par x^y au lieu de a, b les deux variables, nous avons dans le voisinage de tout point (a;©, Xo) le développement

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PONCTIONS D UNE TARIABLE COMPLEXE. 2 1

Chacune des fonctions homogènes 'o satisfera à Téq nation de Laplace.

De ce développement on peut conclure que la fonction V ne peut avoir en un point (^©j y^) ^i maximum ni minimum. Soil, en effet, dans le voisinage de ce point,

V(ir, r) = <?oH- <P/n(ar — aro, J^ — ^o) -+- . . . (m> i),

la fonction ^«(a? — x^i y — ^o) devra, dans le voisinage de (•^oj y%)^ garder un signe invariable. Or, cela est impossible, puisque, en posant,

X — a?o=rcos^, y — ^o=''sin®, on a

?/n= /""(«/n cosm(p -*- 6;„ sin/nsp),

et que l'équation a,„cosmy -h 6msin/n(p = o a toujours des racines qui sont simples.

Le même théorème peut s'établir en suivant la même marche que Gauss pour le cas de trois variables (t. I, p. i6o). Nous avons vu, en effet, en établissant la formule fondamentale (§ 10), que

r étant un cercle de rayon p ayant A pour centre.

Si le point A correspondait à un maximum de la fonction, on aurait sur la circonférence F, pour p suffisamment petit,

V<Va.

d'où

c'est-à-dire

-^ fv,ds<yx,

ce qui est en opposition avec l'égalité écrite plus haut.