Nous allons tirer immédiatement une conséquence impor

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tanle du ihéorème établi au paragraphe précédent. Étant donné un contour fermé G, montrons qu'tV ne peut y avoir plus (Tune fonction harmonique continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans l'aire limitée par C, et prenant en tous les points de ce contour une succession donnée de valeurs.

Nous supposons, tout au moins pour le moment, que la succession des valeurs données sur le contour forme une suite continue. Désignant, d'une manière générale, par V^i, celte série de valeurs en un point quelconque m du contour, nous entendons par fonction V, prenant ces valeurs sur le contour, une fonction V(a:,^) qui tend vers V„t quand le point {x,y) tend vers le point m d'une manière quelconque, en restant à l'intérieur du contour (*).

Ceci posé, s'il existait deux fonctions jouissant des propriétés précédentes, leur différence U satisferait encore à l'équation de Laplace et s'annulerait en tous les points du contour. Dans ces conditions, elle devrait avoir au moins un maximum oii un minimum pour un point situé à l'intérieur du contour, mais cela est impossible, d'après ce que nous avons vu précédemment. La fonction U est donc identiquement nulle, ce qui démontre le théorème.

17. Donnons, du théorème précédent, une autre démonstration où nous aurons à considérer une intégrale double qui a joué un rôle important dans celte théorie. Faisons, dans la formule préliminaire de Green, V= U, elle deviendra

Supposons maintenant que U soit la fonction du paragraphe précédent, s'annulant en tous les points de G, la formule se réduira à

(^) On trouvera dans un important Mémoire de M. Painlevc {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. II, p. 19) des remarques intéressantes relatives à cette notion de fonction prenant une valeur donnée sur un arc de courbe.

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et Ton devra avoir, pour tous les points de l'intérieur de l'aire, dV dV

par suite, la fonction U est constante à l'intérieur de l'aire^ nulle sur le bord, elle est donc nulle aussi à l'intérieur.

Il est important de remarquer que, dans le calcul précédent, on fait implicitement une hypothèse dont nous n'avions pas eu besoin dans la première démonstration. Pour que l'intégrale curviligne

{] -=—ds

soit nulle, il faut supposer, en général, que -j- ^^ devienne pas

infini. Aussi, dans cette seconde démonstration, on doit se borner aux intégrales qui restent continues à l'intérieur du contour et sur le contour, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre.

III. — Extension à Téquation linéaire générale du second ordre de quelques-uns des résultats obtenus pour Féquation de Laplace.

18. Quittons maintenant, pour un instant, Téquation particulière

Aa = o,

et cherchons s'il est possible d'étendre à des équations plus générales quelques-uns des résultats précédents (*). Nous prendrons d'abord l'équation

d^u d*u ,du du

dx^ dy^ dx ày -^ *

OÙ rf, e, / sont des fonctions continues quelconques de x et y.

Supposons qu'il existe deux intégrales de cette équation, continues dans une aire A limitée par un contour C et prenant

(*) E. Picard, Comptes rendus, i888, et Journat de Mathématiques, 1890.

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les mêmes valeurs sur ce contour. Nous supposons de plus que leurs dérivées partielles du premier ordre restent continues sur le contour. Leur différence, que nous désignons par U, s^annulera sur C. Formons l'intégrale double

étendue à l'aire A; cette intégrale sera évidemment nulle, puisque la quantité entre crochets est nulle. Donc, en intégrant par parties et se rappelant que U = o sur le bord, on a immédiatement

Un premier résultat apparaît aussitôt. Si, dans l'aire A, on a pour tout point {x^ y)

dd de . ^

l'intégrale précédente ne pourra être nulle que si l'on a en tous les points de l'aire

Ainsi, en particulier, l'équation

satisfera à la condition précédente dans toute région du plan où / est négatif.

19. L'artifice suivant va nous permettre d'aller plus loin. Gardons toujours pour U la même signification que plus haut. Si B et B' sont deux fonctions continues quelconques de x et y, on aura

puisque U = o est nul sur le bord..

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Nous pouvons donc écrire, en ajoutant (5) et (6),

..B'ug*U.(.*gH-f)].fc4..o, en posant

dx dy '^

Or la quantité entre crochets sous le signe cl*intégration est une forme quadratique en U, ^ et -j-» Elle peut s'écrire

(g-")'-(f-»'")'-"-(-ë*f-B-B-> Elle sera toujours positive si

,;) B«+B'.-e<g-Hg:.

Si donc on peut trouver deux fonctions B et B' de x et j^, continues dans l'aire A et vérifiant l'inégalité précédeqte, on sera assuré que U est nulle en tous les points de l'aire, si elle est nulle en tous les points du contour. De là peut se déduire une conséquence intéressante.

Nous allons faire voir que, quelle que soit la fonction continue 0(:r, j^), on peut déterminer deux fonctions B et B' satisfaisant à l'inégalité (7), et continues dans une aire, si celle-ci satisfait à une certaine condition.

Pour le montrer, remplaçons — 0 par sa plus grande valeur absolue -f- m^, quand {x^y) reste dans une certaine région du plan. Nous aurons à satisfaire à l'inégalité

dx dy

et cette dernière inégalité entraînera évidemment la précédente.

Or faisons B'= o et prenons B, fonction de x seul, satisfaisant à la relation

q6 chapitre I.

m^ étant une constante supérieure à m^. On aura

B = mi tang(wia:-h C),

C étant une constante.

En choisissant convenablement cette constante, la fonction B reste continue dans tout intervalle donné compris entre deux parallèles à l'axe des y et dont la distance est moindre que -^—*

Puisque m^ diffère aussi peu qu'on veut de m, on peut dire que, pour toute aire comprise dans une bande parallèle à l'axe des^ et

de largeur moindre que — > on se trouve dans les conditions d'application du théorème. D'autre part, en faisant une transformation de coordonnées rectangulaires, on aura, pour chaque direction nouvelle de l'axe Oy, un nombre m. En désignant par m le plus grand d'entre eux, et posant

nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Pour tout contour situé dans la région considérée du plan, il ne peut y avoir plus d^une intégrale continue prenant des valeurs données sur le contour, pourvu que le contour se trouve compris entre deux droites parallèles dont la distance ne dépasse pas d.

Il est d'ailleurs nécessaire de sous-entendre toujours la condition de continuité sur le contour pour les dérivées partielles du premier ordre.

En particulier, on est assuré de se trouver dans les conditions d'application du théorème si le contour est suffisamment petit,

20. Prenons comme application l'équation où k^ représente une constante positive.

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 27

On aura ici 6 = — ât-* et, par suite, on peut prendre m^= k^. Comme d'autre part, si l'on fait une transformation de coordonnées rectangulaires, IVquation ne change pas de forme, on en conclut que l'équalion précédente aura au plus une solution prenant des valeurs données sur un contour, si ce contour se trouve compris entre deux droites parallèles dont la distance ne dépasse

Il est aisé de voir que cette propriété ne subsiste pas pour tout contour. Il peut arriver qu'une intégrale de l'équation précédente soit nulle sur un contour sans être nulle à l'intérieur. C'est ce que nous allons montrer sur un exemple : l'expression

, k . k u = sin -— iT siïi — = ^

vérifie l'équation précédente, et elle s'annule sur les côtés du carré ayant pour côtés