Au lieu de prendre Téquation

d*u d^u .du du ^

âx^ à/* dx dy *^

on eût pu prendre l'équation plus générale

, - d*u , d^u d*u ,du du j.

Il est, en effet, facile par un changement de variables de ramener l'un des cas à l'autre.

Faisons le changement de variables

L'équation (a) prendra la forme d* u d*u ^du

d* u d*u r.du ^du ^

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si les deux fonctions X et Y satisfont aux équations

\àx / dx dy \ày ) ~ \àx / dx dy \ày )

dx dx \ôy dx dx dy ) dy dy ~ '

On peut remarquer, et cela est intéressant pour la recherche effective de X et Y, que ces équations sont celles que l'on obtient en écrivant que la forme quadratique

c dx^ — ib dx dy -^ a dy^

se réduit, à un facteur près, à

rfX«-f-rfY«.

Il résulte de cette remarque, d'après ce que nous avons vu (t. I, p. 453), que, pour trouver deux fonctions X et Y de ^ et^ satisfaisant aux deux équations trouvées, il suffira d'intégrer une équation différentielle ordinaire du premier ordre.

Ceci posé, nous pouvons étendre à l'équation (a) le théorème fondamental du § 19 dans le cas où la transformation à employer est réelle, c'est-à-dire si le point (x,^) est dans une région du plan où

6* — ac <^ o.

On peut alors énoncer que, dans cette région du plan, il ne peut y avoir plus d'une intégrale prenant une succession donnée de valeurs sur un contour, si ce contour est suffisamment petit.

22. Les méthodes employées dans les précédents paragraphes supposent que les fonctions étudiées soient continues sur le contour ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Elles correspondent à la deuxième démonstration donnée (§ 17) de l'impossibilité d'un maximum ou d'un minimum pour les fonctions satisfaisant à l'équation de Laplace. Nous n'avons pas eu besoin de ces hypothèses dans la première démonstration qui reposait essentiellement sur la propriété de la fonction harmonique d'être analytique. Dans le cas de l'équation (a) du §21 on peut, en précisant la na-

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FONCTIONS d'uNK VARIABLE COMPLEXE. SQ

lure des cbefficients, démontrer que les fonctions qui y satisfont sont analytiques, et il est intéressant de rechercher si les résultats obtenus pour l'équation de Laplace, en partant de cette hypothèse, sont susceptibles de généralisation. C'est ce que nous allons montrer.

Nous supposons que dans Téquation (a) du §21 les coefficients a, è, c, rf, e, /soient des fonctions analytiques de a: et j' dans la région considérée du plan. On suppose de plus expressément

6' — ac < o

dans cette région : a et c, qui sont alors de même signe, peuvent être supposés positifs.

On peut établir que toute intégrale de cette équation bien déterminée et continue dans la région considérée du plan ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres est ellemême une fonction analytique ( * ).

Nous admettrons pour lé moment ce résultat, et nous allons seulement en poursuivre quelques conséquences, en raisonnant comme nous l'avons fait au § IS pour l'équation de Laplace. Considérons d'abord le cas où / est identiquement nul, c'est-à-dire où l'équation se réduit à

d^u i, ^*" ^*" . //^" du ^

dx^ àxày ày^ àx ^«K ~" '

Je dis qu'une intégrale u de cette équation ne pourra admettre ni maximum ni minimum.

Soit, en effet, (^o? JKo) un point dans le voisinage duquel u et ses dérivées partielles des deux premiers ordres sont continues; la fonction u^ étant analytique, peut être développée en série de Taylor

les y désignant des polynômes homogènes en x — Xq el y — r© ;

(') E. Picard, 5a/' la détermination des intégrales de certaines équations par leurs valeurs le long d'un contour fermé [Journal de l'Ecole Polytechnique, 1890, et Acla mathematica, t. XXV).

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ço représente une constante, et si (^oj^o) correspond à un maximum ou à un minimum, on a /7^2. Substituons cette \aleur de u dans Téquation (8) et égalons à zéro l'ensemble des termes homogènes de moindre degré. On aura nécessairement

en désignant par «o» ^o? Cq les valeurs de a, è, c pour j: = a:o,

Le polynôme '^/z satisfait à une équation analogue à celle de Laplace; on peut le ramener à cette équation par un changement de variables réel

X = a(a: — jTo) H- ?(7 — ^0 ), Y = YCar—Xo) -4-8(7— ^'o).

Il suffit de suivre la méthode du §21, et, par conséquent, de chercher la substitution précédente transformant

Or c'est un problème d'Algèbre élémentaire que de chercher la substitution linéaire

d\ = a rfa? -i- p dy, d\ = ^dx-\-^ dy,

transformant les deux formes Tune dans l'autre. La substitution sera réelle puisque b\ — ao^'o< o, et «o > o»

La fonction ^n pourra donc s'annuler en changeant de signe dans le voisinage de X = o, Y =: o et, par suite, dans le voisinage de J? = Xo, y =yo- Il est donc impossible que u ait un maximum ou un minimum pour x = Xq, y =yo-

On en conclut de suite, en répétant le raisonnement fait pour l'équation de Laplace, qu'iV ne peut y avoir deux intégrales de

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PONCTIONS D UNK VARIABLE COMPLEXE. Ôl

Inéquation {%) prenant une succession donnée de valeurs sur un contour C.

On voit que l'équation (8) jouit, au poînl de vue qui nous occupe, des mêmes propriétés que l'équation de Laplace.