SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRIGHLET
sur sa circonférence; celle couche aura même potentiel pour les points extérieurs et un potentiel plus petit pour les points intérieurs.
o. La seconde propriété que nous avons à développer est relative à la moyenne du potentiel logarithmique le long d'une circonférence.
Soit une circonférence C de centre O et de rayon R; si un point attirant P est extérieur à la circonférence, le potentiel
V — m log - »
r désignant la distance de(j:, y)k P, sera harmonique et continue dans C, et par conséquent, d'après un théorème établi au dél)ut de l'étude des fonctions harmoniques, la moyenne de V sur le cercle, c'est-à-dire
sera égale à la valeur au centre, c'est-à-dire à ni\o^jrp' On a donc
OTL . V = m log — rj (Ole . V = luovenne de V sur la circonférence ).
Si le point attirant P est à l'intérieur de la circonférence, cette formule n'est plus applicable. Pour obtenir la moyenne de V, nous procéderons de la manière suivante : décrivons des points O
Fig. i3.
et P des circonférences V et F de rayons y' et y, suffisamment petits pour qu'elles soient intérieures à C et extérieures Tune par rapport à l'autre, et désignons par r' la distance du point attiré
M(jc,y) au point 0(y?^. i3j. On a, en posant V== m log -7* et
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94 CBAPITRB IV.
en appliquant la formule de Green à la surface limitée par les trois courbes C, F et f,
Jç^ \ an an I */ p \ «'* "'* /
les dérivées étant prises suivant les normales aux courbes géomé- Iriques.
Les deux intégrales qui forment le second membre de celle égalité sont égales et de signe contraire, car, puisque la grandeur du rayon de la circonférence sur laquelle on intègre est indifférente, on passe de l'une à l'autre en permutant r et r' et en changeant le signe. On a donc
donc
m iog ï;^^""d I y ds = o
^c ou
/c D'au Ire part, on a
ou
DTL\ = mlog^.
D'une manière générale, en désignant par m les masses extérieures et par [jl les masses intérieures, on aura
OU V = 2 fw loff i -4- Iog ;^ 2 ^'
r désignant la distance du point de masse m au centre de la circonférence. On a supposé les masses isolées; la formule s'étend d'elle-même à des masses continues, linéaires ou superficielles, et elle conserve sa signification si les masses attirantes rencontrent
GoogI(
SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. qS
la circonférence C : les sommes N^ sont, bien entendu, à remplacer par des intégrales.
6. De celte valeur de la moyenne, on conclut que le potentiel logarithmique V provenant de masses positives n'est pas susceptible de minimum. Il suffit pour cela de démontrer que, quel que soit le point B considéré sur le plan, on ne peut avoir
V>Vb,
pour tout point d'un cercle, concentrique au point B, ayant un rayon R assez petit. On a, en effet, les notations étant les mêmes que précédemment,
d'autre part,
VB=2/niogi -t-^uiogi,
d'où, en retranchant,
3n.v-VB=2K(iog^-iogi)-2f^'°«(R)-
Or log^ est négatif, les masses y. sont positives, donc
OII.V<Vb,
et ceci est en contradiction avec l'hypothèse du minimum qui
entraînerait
OTIV>Vb.
Plus généralement, on pourrait démontrer que, quel que soit le signe des masses superficielles attirantes, la fonction V n'est pas susceptible de minimum dans les régions du plan qui appartiennent à des masses positives et qu'elle n'est pas susceptible de maximum dans les régions du plan qui appartiennent à des masses négatives.
7. Terminons par une dernière remarque qui trouvera aussi son application. Supposons tracé sur le plan un contour simple ou multiple pour lequel on sache résoudre le problème de Dirichlet,
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la fonction V étant d'ailleurs supposée provenir uniquement de masses positives. Désignons par 10 la fonction, harmonique à l'intérieur du contour, et qui prend sur ce contour les mêmes valeurs que V. Comme, pour tout point inlérieur B, on a OPlu) = tOg, il en résulte que la fonction V — w n'est pas susceptible de minimum; or elle est nulle sur le contour : donc elle est posilive à l'intérieur.
