II. — Méthode de M. Poincaré (M

8. Nous partons d'une aire quelconque S limitée par un ou plusieurs contours s. Je dis tout d'abord que l'on peut toujours trouver des cercles C/ tout entiers intérieurs à ^^ formant une suite indéfinie à indices entiers positifs

Cl, Gï, . . . , C/i, . . .,

et tels que tout point intérieur à S soit intérieur au moins à Vun de ces cercles.

Pour le faire voir, considérons dans S une région R dont tous les points soient à une distance des supérieure à une quantité 0. Soit S' une longueur plus petite que 8; traçons une série de paral-

lèles aux axes de coordonnées, ayant entre elles la distance— =•

Nous formons ainsi une infinité de carrés dont la diagonale est o'. Nous ne retiendrons parmi eux que ceux qui sont en totalité ou en partie intérieurs à R : soit n le nombre de ces carrés. Tout point de R est alors intérieur à un de ces n carrés ou sur son contour. Ceux mêmes de ces carrés qui sont partiellement extérieurs à R sont encore intérieurs à S, puisque leur plus grande dimension ô' est inférieure à 5.

(') M. Poincaré a développé sa méthode dans son Mémoire de V American Journal of Mathematics (t. IX ) en considéranl le cas de l'espace à trois dimensions. Pour le principe de la méthode, il n'y a aucune différence entre le cas de l'espace et celui du plan; il n'en est pas tout à fait de môme des démonstrations qui doivent être assez notablement modifiées. Dans sa Thèse M. Paraf a exposé, pour le plan, la méthode de M. Poincaré; nous avons tiré grand parti, pour notre rédaction, de ce travail fait avec beaucoup de soin.

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SOLUTION DU PROBLÈME DK DIRICHLKT. 97

SoicDlOi, O2, ..., Orties centres de ces carrés : de chacun de ces

points comme centre, avec un rajon intermédiaire entre - et - ,

décrivons une circonférence. Chaque carré est alors tout entier intérieur au cercle correspondant, lequel est toujours intérieur à S; chaque point de R est alors intérieur à l'un de ces n cercles. Imaginons alors une série de longueurs ô|, Sj, 5,,, ... décroissant et tendant vers zéro. Appelons Rq la région formée par Tensemble des points de S dont la distance à s est supérieure à S|, puis, d'une manière générale, appelons R,* l'ensemble des points de S dont la distance à s est comprise entre S/ et o/^|. Ces diverses régions ne seront d'ailleurs pas nécessairement connexes, mais cela n'est pas utile. Construisons dans Ro les cercles

Ci, Gj, ..., C/i„, comme plus haut, puis dans R| les cercles

et ainsi de suite indéfiniment. L'ensemble de tous ces cercles forme une suite

Cl, Gj, . . . , G,;, . . . ,

qui remplit manifestement les conditions énoncées.

9. Après avoir construit dans S la famille des courbes C,-, traçons encore une courbe fermée L qui contienne dans son intérieur l'aire S; nous pouvons supposer que ce soit une circonférence L d'un rajon suffisamment grand. Désignons par T la partie du plan intérieure à L.

On se donne par hypothèse sur la courbe 5, qui limite S, une succession continue U de valeurs.

Admettons que l'on puisse trouver une fonction Vo(:r, y)y continue ainsi que ses dérivées partielles des trois premiers ordres dansT, et se réduisant à U sur 5. C'est en partant de cette fonction Vo (j:,jk), prise en quelque sorte comme première approximation, que nous vouloos arriver à la solution du problème de Dirichlet.

Supposons d'abord que AVq soit constamment négatif dans T. P. — II. 7

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gS CHAPITRE IV.

Si alors on pose

AVo

p sera une fonction positive dans T. Imaginons une niasse répandue d'une manière continue sur T et dont la densité en chaque point soit justement la fonction p. Cette masse aura un potentiel Wo, et l'on aura dans toute la région T

AWo = — 2 7cp = AVo, donc A(Wo— Vo) = o.

La différence Wq — VoCst donc une fonction harmonique; elle est parfaitement déterminée, puisque nous connaissons Wo et Vo pour tous les points de T. En posant Wo — /Vo= 6, on aura sur le contour s

e=:Wo— u,

et la fonction 0 sera harmonique.

Les masses qui donnent naissance au potentiel Wo sont toutes positives, et une partie d'entre elles est intérieure à S. Envisageons en particulier celles qui sont intérieures au cercle C, ; nous avons appris à former sur le cercle une couche équivalente à ces masses. Ayant à répéter souvent cetle opération, nous l'appellerons, pour abréger, le balayage du cercle C,-. On peut dire alors que le balajage du cercle C,* ne change pas le potegtiel en un point quelconque extérieur à G,, mais le diminue en tout point intérieur. Cette opération n'introduit d'ailleurs jamais de masses négatives.

Balayons d'abord successivement tous les cercles, dans un ordre tel que chacun d'eux soit balayé un nombre infini de fois. Il suffira pour cela de les balayer dans l'ordre

on ne tiendra aucun compte de ceux qui ne contiendront plus aucune masse quand viendra leur tour d'être balayé.

Appelons enfin W* ce que devient le potentiel après la /r'ème opération; nous allons comparer entre elles les valeurs des différentes fonctions W^t en un même point A de T et démontrer qu'en chacun de ces points W* tend vers une valeur déterminée.

iO. Il est évident que, si A est extérieur au cercle balayé à la

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