SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRIGHLET

^itme opération, on aura

Dans le cas contraire, on aura

Wa<W^.-.i.

Donc, dans tous les cas,

et remarquons que, pour tous les points à l'extérieur de S, on a

W*= Wo.

■ Ainsi Wa ne va jamais en croissant quand l'indice augmente. D'autre part, en vertu de la propriété du potentiel logarithmique dû à des masses positives, établie au § 7, Wa est, en chaque point, supérieur à la valeur de la fonction harmonique (o, qui prend sur la circonférence T, ou sur toute autre circonférence comprenant S à son intérieur, les mêmes valeurs que W©. Donc W* lend vers une limite bien déterminée W en chaque point A de T.

11. Nous allons démontrer maintenant que cette limite W, bien déterminée en chaque point A de S, tend vers

quand A tend vers le point a- du contour (^ ). La même propriété (§ 7) va encore nous servir. Nous allons considérer comme résolu le problème de Dirichiet dans le cas d'un contour formé de deux circonférences concentriques et dans celui d'un contour formé par une ellipse et la portion de droite qui unit les deux foyers,' considérée comme droite double (*).

(*) La démonstration dans le cas de Tespace est beaucoup plus simple que dans le cas du plan et Ton n'a pas besoin d^employer les artifices auxquels nous avons dû recourir.

(^) Le cas de deux cercles sera traité à la fin de ce Chapitre et le cas de deux ellipses homofocales au Chapitre X.

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lOO CHAPITRE IT.

Cela posé, considérons d*abord les points o- du contour s qui admettent une tangente bien déterminée. Nous pouvons construire un premier cercle tangent en o- au contour s et tout entier extérieur à S, et ensuite un second cercle concentrique au premier, contenu tout entier dans T et comprenant S à son intérieur, ce qui est possible, si la région T a été prise assez grande et si le rayon du premier cercle est assez petit. Soit co la l'onction harmonique entre les deux cercles, et prenant sur ces cercles les mêmes valeurs que W©, on aura, pour tout point A de S,

WA.>Wla>.

Imaginons maintenant que le point A tende vers o*; W„ et co tendent tous deux vers la valeur de Wo en o- : donc W tend aussi vers cette valeur, qui est

Lorsque la tangente en o- est complètement extérieure à S, nous aurions pu, au lieu des deux circonférences précédentes, n'en considérer qu'une tangente en o- à 5 et comprenant S à son intérieur, et cette construction s'applique même au cas où le point oserait une pointe, pourvu qu'on puisse, par ce point, mener une droite complètement extérieure à S.

En général, lorsque le point t est une pointe, telle que A, par exemple {fig* i4)i on ne pourra pas tracer toujours une ou deux

circonférences, remplissant les conditions précédentes, mais si l'on peut mener par A un petit segment de droite AA' extérieur à l'aire S, on prendra alors pour déterminer co le contour formé par une ellipse extérieure à S, ajant pour foyers A et A', et par la portion de droite AA' considérée comme droite double.

La méthode précédente ne s'appliquerait pas si Ton avait au

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point A une pointe rentrante formant un rebroussement de seconde espèce. Une discussion plus approfondie est alors nécessaire; on la trouvera dans le travail déjà cité de M. Paraf.

12. Nous avons constaté dans les paragraphes précédents l'existence d'une fonction W(jc, j^) définie dans l'intérieur de S, et tendant vers l'expression (3) quand le point (j^^J^) se rapproche d'un point quelconque <t du contour. Nous allons maintenant établir que cette fonction est harmonique.

Envisageons un des cercles Ca par exemple, et supposons que ce cercle soit balayé aux opérations a^ a2, . . ., a„, Après chacune de ces opérations, le cercle Ca ne contient plus aucune masse. On a donc à l'intérieur de ce cercle

AWa,= o; or les fonctions

W«., Wa., ..., W«„, ...

sont des fonctions harmoniques décroissantes, et ayant W pour limite. La série

W«,+ (Wa,-W«.)+...^rWa„-W«,.) + ...

a donc tous ses termes positifs, sauf peut-être le premier. Tous ces termes sont harmoniques, et la série converge évidemment. Elle définit donc une fonction harmonique dans Ca, d'après le théorème de Harnack (Chap. II, § 6); or la limite de la série étant W, il en résulte que cette fonction est harmonique dans C» et, par suite, dans toute l'aire S.

Si l'on forme alors la fonction

on aura une fonction harmonique dans S et prenant la valeur U sur le contour s. Le problème de Dirichlet est donc résolu.

Dans la méthode précédente, on part d'une fonction quelconque Wo, assujettie seulement à prendre les valeurs données sur le contour. Nous avons dû faire quelques restrictions sur cette fonction; nous allons les lever dans un moment. Mais on voit dès

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inaintenant combien la méthode de M. Poincaré esl originale. Tandis que, dans la méthode de Neumann et de Schwarz, on part toujours d'une fonction harmonique, et que les approximations successives, qui doivent faire approcher de plus en plus de la fonction cherchée, sont toujours des fonctions harmoniques, il en est tout autrement chez M. Poincaré. Ici, on part d'une fonction quelconque, prenant les valeurs données sur le contour, et l'on forme une succession de fonctions qui ne sont pas harmoniques dans toute l'aire S; c'est seulement leur limite qui donne une fonction harmonique dans cette aire tout entière.

13. On a supposé, dans la démonstration précédente, que AVo conserverait un signe constant. S*il en était autrement, on pourrait toujours partager T en deux régions T| et T2, la première contenant tous les points pour lesquels ;— ^ est positif, la deuxième

tous ceux pour lesquels la même quantité est négative. Driinissons alors des fonctions pi et p2 par les conditions suivantes

pi = p dans T|, p^= o dans Tj, Pj=o dans T|, pj = -p dans Tj.

Ces deux fonctions sont continues dans toute l'étendue de T, et elles sont positives ou nulles. De plus, on a

P = pi-?j.

Considérons alors deux systèmes de masses ayant des densités pi et P2; elles engendreront deux potentiels W* et WJ, qui, dans toute l'étendue de T, donneront lieu aux relations

Donc

et, par suite, On a donc

A(W»-Wii) , , ,

A(VVJ— WJ^-Vo)-o.

WJ~WJ-Vo=<

0 étant harmonique dans T et complètement connu. Les raison-

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SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. lo3

nements précédents s'appliquent aux deux fonctions W^ et Wj. Elles engendrent respectivement deux fonctions W* et W* harmoniques dans S et prenant sur le contour les mêmes valeurs que W* et WJ. La fonction W* — W^ — 6 résout donc le problème.

14. La méthode qu'on vient de lire suppose qu'on a déterminé une fonction Vo(j:, ^), continue dans T, ainsi que ses dérivées partielles des trois premiers ordres, et prenant sur la courbe s la succession continue donnée des valeurs représentée par U. On pourra évidemment, pour une infinité de fonctions U sur 5, trouver une fonction Vo(j:,^) satisfaisant aux conditions requises. Toutefois, certaines conditions seront nécessaires : ainsi U devra sur le contour admettre aussi des dérivées des trois premiers ordres. Si donc on ne veut faire sur U d'autres hjpothèses que la continuité, il est indispensable de compléter la méthode.

15. Examinons donc le cas général où la succession donnée des valeurs U sur s satisfait à Tunique condition d'être continue. M. Paraf a montré de la manière suivante que ce cas général pouvait être ramené au cas particulier que nous venons de Irai 1er.

On peut toujours, et d'une infinité de manières, construire une

fonction «K^,^), continue dans la région T et prenant sur 5 les

valeurs données U. Ceci fait, nous allons construire une infinité

de polynômes

Fi, F,, ..., Frt, ...,

croissant et tendant uniformément vers ^ dans la région T.

Appelons

les valeurs de ces polynômes sur s; ces fonctions U// sont croissantes et tendent uniformément vers U. Sachant résoudre maintenant le problème de Dirichlet pour chacune des valeurs

données sur le contour, nous aurons une suite de fonctions harmoniques dans S

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Nous montrerons que ces fonctions V„ tendent vers une limite V qui est la fonction cherchée.

16. D'après ce que nous avons démontré (t. I, p. 279), on peut toujours trouver un poljnome F(x,^) qui représente, avec une erreur moindre qu'un nombre e donné à l'avance, une fonction ^{^^y)y arbitrairement définie dans une aire T et assujettie à la seule condition d'être continue.

Soit^(^,^) une telle fonction prenant sur s la succession de valeurs U; nous pouvons la supposer positive; car, dans la solution du problème de Dirichlel, on peut toujours ajouter une constante à U. Désignons par

Ai, Aj. . . . , An,

une succession de nombres positifs croissants, tendant vers Tunité. On suppose que

conditions qui peuvent être réalisées d'une infinité de mahières,

par exemple avec X/= i — — ^•

Considérons enfin la suite des fonctions continues, positives, croissantes et tendant vers ^,

En appelant m la limite inférieure de ^ dans T, je construis le polynôme F/(,r,j^), qui représente X/J; avec une erreur moindre

que -O/TW. Ces polynômes F/ forment une suite croissante, car

on a

donc

F/-K, — F/ > X/^i ^ — li^— -( ùi-{- o,H-, )/?i

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