SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. I
et cette suite croissante tend uniformément vers à. Si donc on appelle U/ la valeur de F/ sur 5, les U/ forment aussi une suite croissante tendant uniformément vers U.
Maintenant nous savons, au moyen de chaque fonction F/, construire une fonction V/ harmonique dans S et se réduisant à U| sur s. Ces fonctions V/ forment une suite croissante, puisque la différence V/^.1 — V/ prend sur s des valeurs positives; d'ailleurs V,- est toujours inférieur à la limite supérieure M de 'I/, puisqu'il en est de même de U/.
Les fonctions V, ont donc une limite V; je dis que V est la fonction cherchée. Considérons en effet la série convergente
V=V,-f-(V,-Vt) + ... + (V„-V„-,)H-....
Chaque terme de la série est harmonique dans S, et le terme générai V,i — V«| tend vers U,, — U«i quand le point mobile s'approche du contour. D'ailleurs la série de ces valeurs sur le contour s
U,-i-(U,-Ui)H-...-f-(U„-U«-i)-f-...
converge uniformément vers U sur tout le contour; donc, d'après le théorème de Harhack, la fonction V est harmonique dans S et prend la valeur U sur s.
17. Nous terminerons ce Chapitre par l'examen du cas particulier dont nous avons eu besoin au § 11, où le contour se compose de deux cercles concentriques.
Soient donc C et C les deux cercles, R et R' leurs rayons, r et cp les coordonnées polaires d'un point de la couronne
Nous vouions trouver une l'onction /(/-, cp), harmonique dans la couronne (S), se réduisant à des fonctions données U(cp) sur (C), V(cp) sur (C), quand le point (/•, cp) tend vers C ou vers C par un chemin quelconque.
Nous supposerons seulement que ces deux fonctions de cp satisfont aux conditions de Dirichlet, et forment sur le contour une
I06 GflAPITRE IV.
suite continue. Nous pouvons donc poser
OÙ U,„ et V;„ désignent, par abréviation,
li/rt= a,„cosmcp-+- p,„sinm<p, V,„ = a;„ cos m o -+- p',„ s'inmo,
et ces deux séries sont uniformément convergentes sur les contours respectifs (C) et (C) (t. I, p. 247)-
Supposons d^abord que les valeurs de U et V données sur les contours C et G se réduisent respectivement à i et o, ou à o et i . La solution est immédiate : ce sont les fonctions harmoniques
log^ log-^
Soit, en second lieu, cosmcp et o, ou o et cosmcp les valeurs de U et V données sur les contours C et C. Les solutions apparaissent encore d'elles-mêmes. Ce sont les fonctions harmoniques
(^T"-(f)"' œMzT
En remplaçant cosmtp par sinm<p, on a les solutions correspondantes aux valeurs o et sinmi^ sur les contours.
Cela posé, la solution générale va s'obtenir bien facilement. Posons, d'une part,
'"S- iZ7-Uv,T < ^
'"^R (rJ -[w]
GoogI(
SOLUTION DU PROBLÈME l>B DIRIGHLBT. IO7
el, d*autre pari,
on obtient ainsi deux suites de fonctions harmoniques dans la couronne (S)
I/o, Ml, Mf, . . ., U,nf . . . , VQi ^U «'îi ^my ...
Sur le contour C, la série des valeurs que prennent ces deux suites sont respectivement U('f) et o; et sur le contour C, o el V(<p).
Donc, en appliquant le théorème de M. Harnack (Chap. II, § 6), chacune des deux séries
u(r,o)= Wo-H Mi-+- ttj-f-. . .-f- M„|-h. . .,
v{r, o) = vq-^v^ -ht;, -+-. ..^- v„^^.,,
sera uniformément convergente à l'intérieur de l'aire (S) et représentera une fonction harmonique. La première tend vers U(ç) ou vers o, quand le point (r, <p) se rapproche de C ou G par un chemin quelconque. La seconde tend vers o ou vers V(<p) dans les mêmes conditions.
La somme de ces deux séries
répond à la question proposée. C'est une fonction harmonique uniformément convergente à l'intérieur de (S) et qui tend vers V(f) ou vers V(tp), suivant que le point (/*, o) se rapproche de C ou de G'.
On peut lui donner encore une autre forme en récrivant de la manière suivante
/('•,?)= -^^«olog— -+-ailog^j
log^
GoogI(
Io8 CHAPITRE IV. — SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET.
et, par suite,
log
^R ""=' L\w) "[wj j
puisque chacune des séries sous le signet] est évidemment absolument convergente.
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I. — Théorème fondamental de Cauchy; démonstration de M. Goursat.
1. Nous avons, au Chapitre I, établi les théorèmes fondamentaux de la théorie des fonctions analeptiques, en les déduisant des propriétés générales des fonctions harmoniques. Nous allons reprendre d'une autre manière les démonstrations, en insistant sur les hypothèses qu'il est nécessaire de faire. Pour établir quQ l'intégrale
' f{z)dz
prise le long d'un contour est nulle, nous avons supposé que la fonction /{z) était bien déterminée et continue, et qu'elle avait en chaque point une dérivée bien déterminée et aussi continue. On s'est longtemps demandé si l'hypothèse relative à la continuité de la dérivée était nécessaire pour établir le théorème fondamental de Cauchy. On doit à M. Goursat d'avoir montré quon pouvait prendre pour point de départ de la théorie des fonctions analytiques la seule hypothèse de /'existence de la dérivée, sans supposer la continuité de la dérivée. Nous allons reproduire la démonstration du savanl géomètre (^).
(') E. Goursat, Acta nxathematica, Tome IV, et Transactions of the Ame^ rican Society, 1900.
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IIO CHAPITRE V.
2. Désignant par f{z) notre fonction continue et bien déterminée, nous allons définir d^abord une expression qui facilitera le langage. Soit A une portion du plan limitée par un contour fermé C, et f{z) une fonction continue et admettant une dérivée pour chaque point de l'aire A et du contour G; soit, d'autre part, e un nombre positif. Nous dirons que le contour C satisfait à La condition (a) relativement au nombre e, s'il est possible de trouver à l'intérieur ou sur le contour C un point fixe z' tel que l'on ait
lorsque z décrit le contour C.
Établissons alprs le lemme préliminaire suivant :
Soient /(z) une /onction continue et admettant une dérivée pour tous les points d^une aire A limitée par un contour fermé G et de ce contour lui-même, et t un nombre positif arbitraire. On peut toujours décomposer Vaire A en parties assez petites pour que le contour de chacune de ces portions satisfasse à la condition (a) relativement au nombre e.
Pour fixer les idées, supposons que l'on décompose l'aire A en parties plus petites par deux séries de droites parallèles à l'axe réel, d'une part, à ta perpendiculaire, d'autre part, la distance de deux parallèles voisines étant constante. Admettons que la décomposition de l'aire A en parties plus petites satisfaisant à la condition (a) ne soit pas possible, il y aura au moins une des aires partielles A< qui n'y satisfera pas non plus. En subdivisant cette aire A| par le même procédé, on en déduira une aire plus petite A^, et ainsi de suite. Le procédé pouvant se continuer indéfiniment, on a une suite d'aires
-^1» Aj, . . . , A;i,
dont chacune est comprise dans la précédente, et dont les deux dimensions tendent vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment. Il y a donc un point limite ^o intérieur à A ou situé sur le contour G. Puisque, par hypothèse, la fonction /(s) admet une dérivée /'(^o) pour 5 = 5o, on peut trouver un nombre t^ tel que Ton ait
GoogI(
pourvu que
Soit c le cercle de rayon 7^ décrit du point Zq comme centre. A partir d'une valeur de n assez grande, Taire A„ sera intérieure au cercle c, et Ton aura pour tous les points du contour de Taire A„
D'ailleurs il est clair que le point Zq est à Tintérieur de A^ ou sur le coDtour; cette aire devrait donc satisfaire à la condition (a) relativement à e. Nous sommes, par conséquent, conduit à une contradiction en admettant que le lemme n*est pas exact.
3. Ce lemme établi, abordons la démonstration du théorème de Cauchy. Nous partons de ce fait immédiat que, le long d'un contour fermé C, les deux intégrales ( *)
I dz et l zdz
sont nulles. Étant donné alors un nombre e, nous partageons, conformément au lemme, Taire limitée par le contour C en aires partielles répondant à la condition (a) pour le nombre e. Ces aires partielles sont de deux sortes : les unes sont des carrés, les autres sont terminées en partie par des lignes droites, en partie par des arcs du contour C.
(*) La chose est évidente pour la première intégrale, diaprés la définition même de rintégrale définie. Pour la seconde, rappelons-nous seulement que l'intégrale de a en 6 le long d'un arc F est la limite, soit de la somme
soit de la somme
quand 2|, ^2, .>., 'Sn étant sur Tare F, les intervalles a^,, ...| z^z.^^^ ..., z^b tendent tous vers zéro, n augmentant indéfiniment. Or
1 f zdz = b^-a}.
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112 CHAPITRE y.
Considérons d'abord un carré, on aura le long du contour
|y, I étant moindre que e, et JJ étant le point correspondant au lemine. Donc, le long du périmètre du carré,
Les deux premières intégrales sont nulles; quant à la dernière, son module est moindre que
en désignant par l le côté du carré.
Pour la partie irrégulière, en désignant par A l'arc de C compris dans le carré, le module de l'intégrale
)dz
est moindre, comme on le voit de suite, que
On a donc, en faisant la somme de toutes les intégrales le long des diverses aires partielles, comme valeur de l'intégrale cherchée, une expression dont le module est moindre que
dans celte expression A désigne^/^ pour les différents carrés,
c'esl-à-dire la somme des aires de ces carrés, il est donc moindre qu'un nombre fixe et est d'autant plus rapproché de l'aire limitée par C que les carrés ont un côté plus petit; quant à S, c'est le périmètre de C. Or s a été pris aussi petit que l'on veut; il en résulte que
c'est le théorème fondamental de Cauchv.
GoogI(
FONGTIOISS D*UNB VARIABLE COMPLEXE. Il3
II. — Théorèmes généraux de Cauchy sur les fonctions d'une variable complexe.
4. Soit f{oc) une fonction analytique uniforme et continue à l'intérieur de Taire limitée par un contour C (formé d'une ou de plusieurs courbes distinctes) (*); nous allons montrer que Von a
rintégrale étant prise le long d'un contour C dans le sens positif, X désignant un point quelconque de l'intérieur de l'aire. Pour démontrer cette formule, décrivons de x comme centre un cercle y, de rajon p, intérieur à l'aire. La fonction
est continue dans l'aire intérieure à C et extérieure à y : on a donc
Jç^Z — X J^z— X
le sens d'intégration étant positif sur y comme sur C. La seconde intégrale ne dépend pas du rayon p ; prenons ce rayon p assez petit pour que l'on ait, z étant sur y,
/(s)=y(a:)-hr„
|tj I étant moindre qu'une quantité positive e, donnée à l'avance, aussi petite que l'on voudra. On aura
Jç^Z—X JyZ^X J^Z — i
or, dans le second membre, nous avons d'abord l'intégrale
(*) Nous appellerons souvent /onc^io/i holomorphe dans une aire une fonction analytique uniforme et continue dans cette aire.
