P. - IL
GoogI(
Il4 CHAPITRE V.
Si Ton pose
on a
r dz r^'^pie^fdB ^.
La première partie du second membre esl^onc* 2Tzi/(x); d'autre part
le module de ce(te dernière intégrale est donc moindre que 2-e, mais elle est indépendante de p, puisqu'elle est la différence de deux expressions qui ne dépendent pas de cette grandeur; la seconde partie du second membre est donc rigoureusement nulle, et Von a par suite la formule fondamentale
5. Il n'est pas sans intérêt de remarquer que celte formule n^est autre chose qu'une forme particulière de la formule fondamentale de Green
(., v,.,*,..l;/(„„.^-vl^)^,
démontrée au Chapitre I (§ 10). Il est facile de s'en assurer. Dési-
gnons le point x par z\ ))our éviter toute confusion, et posons
f{z) = ttH- tV,
u et V étant deux fonctions harmoniques qui satisfont aux équa-
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FONCTIONS d'UNB VARIABLE COMPLEXE. Il5
lions
du dv du ds?
ôx dy dy dx
On vérifie sans peine que, pour tout point du contour C, en désignant par ^ l'arc de courbe, les relations précédentes prennent la forme
du ^ dv du dv
ds " dn' dn~ ds'
Exprimons les deux fonctions e/ et (^ au mojen de la formule (2), et ajoutons les résultats après avoir multiplié la seconde par i\ on obtient
ou, en vertu des relations (3),
(]ette intégrale se réduit donc à
Désignons par a et 'f les angles que l'élément ds fait respectiveent avei relations
ment avec l'axe des x et la direction z' z] on trouve de suite les
dz = ds.e^^, -7- — cos(p, — -j- = sinç, z — z'= /'gia-çî*
et l'on en déduit, en substituant dans (4) la formule fondamentale de Cauchj,
V f{u-^iv)dz -f^^^-V^iJ^ z^z'
6. Les expressions des dérivées successives de f{x) résultent immédiatement de la formule (i). En donnant à x Taccroissement
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ÙlX, on aura
f^.^^)^fi.^=^J^f^.)^—^--^^)
dz.
Divisons par Ax, et remarquons que
■ X — Arr
est, pour tix = o, égale à la dérivée de -33— par rapport à x^
c'est-à-dire r^» ce rapport tendant d'ailleurs uniformément
vers celle limite quand z décrit le contour G. Il en résulte
f'^x)=^. f ^^'\dz, et d'une manière générale, en continuanl de la même manière,
Il n'est pas sans intérêt de remarquer que l'établissement de la formule (i) suppose seulement que la fonction analytique /'(2) ait une dérivée du premier ordre, c'est-à-dire qu'en posant
P et Q ont des dérivées continues et bien déterminées du premier ordre, satisfaisant d'ailleurs aux deux relations tant de fois écrites. La formule générale (5) montre que f{^) a des dérivées de tout ordre; ainsi l'existence de la dératée première, pour une fonction analytique, entraîne l'existence des dérivées de tout ordre.
7. Une conséquence de la formule (5) nous sera plus lard très utile. Supposons que la courbe G se réduise à un cercle de rayon R ayant l'origine pour centre, et que x = o : on aura, en posant
/'''' M = l^^^ f''' /(Re^^)e--^'
rfe.
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Soît M le module maximum de /(s) sur le cercle, il vient
|/''Uo)|<il^M.
Nous en concluons facilement qu'on peut construire une fonction uniforme et continue à l'intérieur du cercle de rayon R ayant pour centre l'origine, dont toutes les dérivées soient positives pour ^ = G et égales, pour chaque valeur de ai, à la limite que nous venons de trouver pour 1/^"^ (o) |. Il suffit, en effet, de prendre la fonction
qui est bien telle que
8. De la formule fondamentale (i), Cauchy a déduit le développement d'une fonction uniforme et continue à l'intérieur d'un cercle en série de Maclaurin. Soit un cercle C de rayon R, ayant l'origine pour centre; on a, x étant à l'intérieur de ce cercle,
or on a l'identité
et, par suite,
l'KiJç, ^«+» 27:1 J^, z -x\z/
On voit que f{x) est représenté par un polynôme de degré n, augmenté d'un terme complémentaire. Si donc celui-ci tend vers zéro pour n infini, nous aurons un développement de f{x) en série entière, c'est-à-dire en série ordonnée suivant les puissances positives entières et croissantes de la variable x. Or, lorsque 5 dé-
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Il8 CHAPITRE V.
crît le cercle C, ^ a un module qui ne dépasse pas une cerlaine limite M; si donc on pose
on aura
i.^i(fri<"(Rr'
Par conséquent le module du terme complémentaire sera moindre que le produit de M f ^ j par la longueur de Tare d'intégration, c'est-à-dire que
■^ j 27cR ou ^TzrM l-^ j >
expression qui tend bien vers zéro puisque r< R. On a donc la série
Ce développement n'est d'ailleurs autre chose que la série de Maclaurin, puisque, d'après la formule (5),
•^ ^ ^ . 2Trt J^, z»^^
Le théorème que nous venons d'établir joue dans la théorie des fonctions un rôle capital. Nous l'avions déjà établi (Chap. II, § 13), en développant séparément la partie réelle et la partie imaginaire de /(x). Les deux méthodes ne sont d'ailleurs distinctes qu'en apparence; dans les deux cas, on fait au fond usage de la même formule, puisque la formule fondamentale de Cauchy n'est qu'une forme de la formule de Green, comme nous venons de le voir (§ 5).
9. Nous dirons quelquefois, pour abréger, qu'un point est, pour une fonction, un point ordinaire si l'on peut, dans le voisinage de ce point, développer la fonction par la formule de Ta^lor, ou encore si elle est holomorphe dans le voisinage de ce point.
Si tous les points de l'intérieur d'une aire A et de son périmètre sont des points ordinaires pour une fonction, on pourra pourcha-
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FONCTIO.NS d'une YARIABLE COMPLEXE. I IQ
cun d'eux, d'après la définition précédenle, trouver une quantité p telle que la fonction soit développable dans ui> cercle de rayon p autour de ce point. Il est clair que, pour l'ensemble de ces points, p aura un minimum différent de zéro. Nous allons établir qu'une fonction satisfaisant aux conditions précédentes, à l'intérieur et sur le périmètre d'une aire A, ne peut avoir dans cette région qu'un nombre limilé de racines.
Faisons d'atord la remarque suivante : une. série /(5), ordonnée suivant les puissances croissantes de z — a et s'annulant pour ^ = a, ne s'annule pour aucun autre point à l'intérieur d'un cercle de centre a et d'un rayon p' suffisamment petit. On a, en effet, /{z) s'annulant pour 2 = a, une puissance entière et finie de {z — a) en facteur, et, par suite,
/(^) = (^ — a)"•[Ao-^-A,(;î — a)-h...],
Ao n'étant pas nul. Si donc \z — a | est inférieur à un nombre p' suffisamment petit, la quantité entre parenthèses sera différente de zéro.
Pour toutes les racines, ce rayon p' est différent de zéro; il a donc un minimum qui n'est pas nul. Ceci suffit à établir que les racines sont en nombre limité dans la région indiquée.
10. L'analyse de Cauchy a été généralisée en i843 par le commandant Laurent, qui a considéré une fonction /(;r) holomorphe entre deux circonférences concentriques C et C. Supposons que l'origine soit le centre commun et désignons par R et R' les rayons de C et C'(R>R'). L'application de la formule fondamentale donne
•^ 11ZlJ^,Z — X ITZlJ^.Z — X
Nous prenons la seconde intégrale avec le signe moins, parce que nous la prenons dans le même sens géométrique que la première.
Développons en série chacune des deux intégrales; pour la première, nous n'avons qu'à appliquer ce que nous avons dit au paragraphe précédent. Mais la seconde donne naissance à un développement en série d'une forme différente. En effet, puisque
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sur la circonférence (7 le module de z est inférieur à celui de x^ nous partirons de Tidenlité
Nous avons donc
On montrera, comme précédemment, que le terme complémentaire tend vers ^^/o quand n augmente indéfiniment; la seconde intégrale est donc développée en une série entière par rapport
à -• II en résulte que la fonction / (x) se ti^ouve développée en
une somme de deux séries ordonnées, la première par rapport aux puissances croissanteset entières de x, la seconde par rapport aux puissances croissantes de - •
La première de ces séries est convergente pour tout point t/itérieur au cercle C, la seconde série converge pour tout point extérieur au cercle O , L'ensemble des deux séries sera convergent dans la couronne comprise entre les deux circonférences.
Il pourra arriver que la seconde circonférence ait un rayon mil, on aura alors un développement de la fonction valable pour tous les points du cercle G, à l'exception de l'origine. Ainsi, si l'on a une fonction f{z)^ uniforme à l'intérieur d'un cercle G ayant l'origine pour centre, et continue pour tous les points de ce cercle, sauf pour le centre, on peut développer f{z) en série de
la forme
p = — 00 p=zO
H. Les développements précédents permettent d'établir facilement quelques résultats généraux relatifs aux fonctions uniformes. Gonsidérons une fonction f{z)^ uniforme et continue dans tout le plan de la variable z\ on suppose de plus que son module reste
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toujours inférieur à une quanliléfîxe M, quelque grand que soit.:?. Nous allons montrer, avec Liouville, que la fonction doit se réduire nécessairement à une constante. Nous pouvons en eflet développer y(^) en série entière
/(5) = Ao-+- A,;5 -h. . .-4- A,„^"»-h. . .,
et cette série sera convergente à l'intérieur d'un cercle C, ayant Torigine pour centre et un rayon arbitraire R. Or on a (§ 8)
el, puisque sur le cercle
1/(5) KM, on a (§7)
Or R est aussi grand qu'on voudra, par suite la quantité fixe k^ est rigoureusement nulle (sauf pour m = o), et la fonction J{z) se réduit à la constante Aq.
Nous avions déjà rencontré ce théorème de Liouville, car il n'est pas distinct du théorème établi (Chap. I, § 12) et relatif aux fonctions harmoniques. Nous avons vu, en effet, que si une telle fonction, bien déterminée et continue pour toute valeur de X et j^, restait toujours moindre en valeur absolue qu'une quantité fixe, elle devait nécessairement se réduire à une constante. Or, en posant ici
on aura évidemment, si |/(^) | < M, les deux inégalités
|P|<M, IQKM, et, par suite, P et Q seront des constantes.
12. Le théorème de Liouville se généralise immédiatement, en supposant non plus que le module de f{z) reste toujours inférieur à M, mais que, pour des valeurs de | c | supérieures à une .quantité déterminée, on ait
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m étant un entier positif déterminé. En prenant toujours le développement de f{z)y on a, p étant un entier positif arbitraire et en intégrant le long du cercle de rayon R,
'■'"*p- ^TiJ z«'+p+i et, par suite,
et Ton en conclut, R étant aussi grand qu^on voudra,
La fonction f{z) se réduit donc à un polynôme de degré m.
III. — Pôles et points singuliers essentiels d'une fonction uniforme,
13. Nous avons jusqu^ici supposé que la fonction f{z) était holomorphe dans la région considérée. Soit dans cette région un point a, pour lequel la fonction cesse d'être continue; on suppose que si de a comme centre on décrit un cercle C d\in rayon assez petit, la fonction f{z) est uniforme dans ce cercle et continue pour tous les points, sauf le point a. Dans ces conditions nous avons (§ 10) le développement
Si les termes B^ sont en nombre limité, on dira que le point a est un pôle. On aura donc, dans ce cas,
(6) /(.) = ^"L^...^^^2Ap(^-«)^
ce développement étant valable pour les points d'uu cercle d'un rayon sufGsamment petit décrit autour du point a. On aurait pu prendre la possibilité de ce développement comme définition du pôle. Le pôle a est dit un pôle d^ordre m, si — m est la plus petite puissance de ;: — a qui figure dans le développement. On
FONCTIONS D*UNB VARIABLE COXPLBXE. 123
voit que le produit
est uniforme et continu dans le voisinage de z =: a^ et prend pour z = a une valeur finie et différente de zéro.
D'après la définition même du pôle, il est clair que, si une fonction uniforme n'a, dans Tintérieur d'une aire et sur son contour, d'autres points singuliers que des pôles, ceux-ci sont en nombre fini. On doit pouvoir, en effet, autour de chaque point de ce domaine, tracer un cercle de rayon déterminé et différent de zéro, à l'intérieur duquel la fonction sera développable soit par la formule de Taylor, soit par la formule (6).
14. Parmi les coefficients B, il en est un particulièrement important : c'est le coefficient B| que Cauchy a appelé résidu de la fonction relatif au pôle a. L'importance de ce coefficient va apparaître dans la recherche de l'intégrale
(7) ff{z)dz.
Sj-
prise le long d'un contour simple entourant le pôle a. Nous pouvons substituer au contour C une circonférence F a^ant son centre en a et un rayon assez petit pour que la fonction puisse être dans ce cercle représentée par l'expression (6). On aura alors
Or on a
dz
comme on le voit de suite, en posant
^ = a -h p e^' et faisant l'intégration de 0 = o à 6 == ar. On a de même
dz
Nous avons donc
f{z)dz= >.T.i,Viy,
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124 CHAPITRB V.
Si Ton suppose d'une manière plus générale que le contour simple C entoure un nombre quelconque de pôles a, è, ..-,/, on aura en ajoutant les résultats partiels dus à chaque pôle
Jf{z)dz = 'nzi^^,
\^R désignant la somme des résidus relatifs aux différents pôles
situés à l'intérieur de C.
Nous pouvons donc énoncer le théorème fondamental suivant, dont Cauchy a fait d'innombrables applications :
V intégrale d^une fonction uniforme prise le long d'un contour simple est égale au produit de ^ni par la somme des résidus de la fonction relatifs aux pôles situés à ^intérieur du contour,
15. Les fonctions uniformes peuvent présenter d'autres points singuliers que les pôles. Nous dirons d'une manière générale qu'un point O qui n'est pour une fonction uniforme f{z) ni un pôle, ni un point ordinaire, est un point singulier essentiel isolé pour cette fonction, si, à l'intérieur d'un cercle ayant O pour centre, la fonction est uniforme, et si, en dehors de O, elle ne possède dans ce cercle d'autres points singuliers que des pôles.
Ainsi, par exemple, la fonction e* a au point 3 = 0 un point singulier essentiel isolé. Ce point n'est en effet pour la fonction ni un pôle, ni un point ordinaire. L'élude de cette fonction si simple va nous montrer de suite l'indétermination d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel. Considérons en effet l'équation
A étant une constante quelconque différente de zéro. Il est facile d'avoir ses racines. Soit en effet
A = Re«' et
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FONGTIOiNS d'une VARIABLE COMPLEXE. 125
on aura
Le module du premier membre est égal à eP et son argument k q\ on a donc
6/»= R ou p = logR,
ce logarithme étant le logarithme arithmétique, et
<7 = a -f- Qt/rir,
logR H- (a -h ikTz)i*
k étant un entier arbitraire positif ou négatif.
Quand k augmente indéfiniment, ces valeurs de z tendent vers zéro. On en conclut que Téquation
a une infinité de racines dans le voisinage de -s = o, c'est-à-dire que, quelque petit que soit le rayon d'un cercle décrit de Vorigine comme centre, il y aura toujours une infinité de racines de cette équation contenues à l'intérieur de ce cercle. Cet exemple montre combien est profonde l'indétermination d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel.
16. C'est M. Weierstrass qui a fait le premier, d'une manière systématique, l'étude des points singuliers essentiels (*). L'illustre auteur a montré que, dans le voisinage d'un point essentiel, la fonction f{z) s'approche autant qu'on veut de toute valeur donnée^ c'est-à-dire que, étant donné un nombre e aussi petit qu'on voudra et un nombre quelconque A, il y aura toujours, à l'intérieur d'un cercle ayant a pour centre et un rayon si petit qu'il soit, des points z où
M. Weierstrass déduit cette proposition.de ses théorèmes géné-
(') K. Weierstrass, Mémoire sur les fondions uniformes d'une variable {Mémoires de l'Académie de Berlin, 1876).
raux sur les fonctions uniformes. Nous en donnerons une démonstration différente (*).
Tout d'abord remarquons que, dans le voisinage d\in point singulier essentiel, la fonction peut admettre une infmité de pôles. Ainsi la fonction
a pour point singulier essentiel 3 = o, et elle admet les pôles en
nombre infini ^ z= — (A* entier).
Pour établir le théorème général qui vient d'être énoncé, considérons la fonction
Deux cas pourront se présenter. I^a fonction (8) pourra avoir une infinité de pôles dans le voisinage du point singulier essentiel a ; dans ce cas, Téquation
aura une infinité de racines dans le voisinage de a, et le théorème est alors évident : la fonction non seulement s'approche autant qu'on veut de A, mais lui devient rigoureusement égale.
En second lieu, la fonction (8) n'a pas une infinité de pôles dans le voisinage de a. On peut alors dans ce voisinage se servir de la formule de Laurent, et l'on a, dans l'intérieur d'un certain cercle C,
j— ^ = Ao-hA,(5 — a)-T-...
La première série sera convergente à l'intérieur du cercle C, la seconde est convergente dans tout le plan, sauf au point a. Or,
si l'on pose — - — = x^ nous savons qu'on peut choisir x de mo-
( ' ) J'ai donné pour la première fois celle démonsiration dans mon Cours lilhographié de i886.
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diile supérieur à toul nombre donné R, de façon que le module de
Bix -^ 822:* -h. ..
f soit lui-même supérieur à telle quantité positive qu'on voudra
donnée à l'avance. A cette valeur de a: correspond un point z aussi rapproché qu'on veut de a, pour lequel le module de y(w) — A est inférieur à tout nombre e, si petit qu'il soit, ce qui démontre le théorème.
17. La proposition précédente ne nous upprend rien sur les racines de l'équation
dans le voisinage du pointa. Bornons-nous à énoncer un théorème sur lequel nous reviendrons plus tard ( ' ) :
U équation précédente a en général une infinité de racines dans le voisinage de a. Il peut arriver cependant qu^il n^ en soit pas ainsi pour certaines valeurs exceptionnelles de la constante A, mais il ne peut exister plus de deux valeurs exceptionnelles.
Dans cet énoncé la valeur A= oo est à considérer comme une valeur que rien ne distingue des autres.
De ce théorème résulte une classification pour les points singuliers essentiels isolés d'une fonction uniforme f{z). On peut les partager en trois classes :
I" La fonction /(-s) peut prendre sans exception toutes les valeurs que Ton voudra dans le voisinage de a; on peut dire que c'est le cas général.
2** Il peut y avoir une valeur exceptionnelle que la fonction ne prendra pas dans le voisinage de a. Ainsi, par exemple, la fonction
(') E. Picard, Mémoire sur les fonctions entières [Annales de V École Normale, 1880).
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ne devient pas nulle dans le voisinage de z = o. Nous avons ici Tunique valeur exceptionnelle A= o.
3" Deux valeurs exceptionnelles peuvent enfin se rencontrer.
La fonction e^ en offre un exemple ; l'équation
n'aura pas de racines dans le voisinage de Torigine si A== o et si
18. Nous avons toujours supposé jusquMci que le point, dans le voisinage duquel on faisait Tétude de la fonction, est à distance finie. Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, on considère les valeurs de z d'un module infiniment grand comme formant un point; on le désigne sous le nom de point à V infini,
11 suffît de poser
pour que le point à l'infini dans le plan des :; soit ramené à l'origine dans le plan des z^ .
Les définitions et les théorèmes qui enrésullent s'étendent donc sans difficulté au point à l'infini. Celui-ci, par exemple, sera un pôle pour la fonction /(s), si la fonction
admet comme pôle le point -g' = o : on aura alors
A,„ . , Al
G(2') étant holomorphe dans le voisinage de ;;'= o : donc
G( - j étant une série entière en - > convergente quand | <s | est suffisamment grand.
Si nous considérons en particulier un polj^nome d'ordre m, nous pouvons le regarder comme une fonction de z ajant, pour
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 1 29
toute singularité, le point à Tinfini comme pôle d'ordre m, La réciproque est vraie, c'est-à-dire qu'a/ie fonction uniforme dans tout le plan, ayant comme seule singularité le point à Vin fini supposé pôle d^ ordre m, se réduit à un polynôme de degré m. 11 est clair en effet, que, dans ce cas,
reste, à partir d'une certaine valeur de | <3 |, inférieur à un nombre fixe; par conséquent, d'après le théorème de Liouville généralisé (§ 12), la fonction enlière/(3) doit se réduire à un poljnome qui devra être nécessairement de degré m, puisque le point à Tinfini est un pôle d'ordre m.
Ce théorème peut se généraliser. Une (onction rationnelle est une fonction uniforme qui n^a dans tout le plan, y compris le point à l'infini, d'autres points singuliers que des pôles. La réciproque est exacte et se déduit de suite du théorème précédent. Soient en eOet a, 6, . . ., / les pôles de notre fonction y (^), à distance finie et de degrés de multiplicité a, ^, . . .<, A. Formons le produit
il n'aura plus de pôle à distance finie, et le point à Tinfini ne pourra être qu'un pôle ou qu'un point ordinaire. Ce produit est donc un polynôme ou une constante et il est bien établi que/(z) est une fraction rationnelle.
IV. — Fonctions analytiques élémentaires d'une variable complexe.
19. Nous avons déjà, à propos de la théorie des séries entières (Chap. II), défini les fonctions élémentaires e^, sin.3 et coss, qui sont uniformes et continues dans tout le plan. Nous nous occuperons dans ce paragraphe des fonctions élémentaires qui admettent des points singuliers et de celles qui ne sont pas uniformes.
20. Les fonctions tang j et cot^ sont définies par les quotients P. - II. 9
GoogI(
(3o CHAPITRE y.
et-r-^- La foDction cos5 s^annulant pour certaines valeurs
de Zj tang^ deviendra infini. Cherchons les racines de cos^, on devra avoir «
ou
donc, en posant 5 = a -f- /^,
Or, — I ayant Tunité pour module et son argument pouvant être pris égal à tt, on aura
■2a = t: 4- 2kTZ,
Par conséquent, les racines z sont données par la formule
z = h A'TT,
k étant un entier positif ou négatif. Ces points sont des pôles simples de tang^.
On verra de la même manière que les pôles de cot^ sont donnés
par
z = Anr.
Ainsi, tandis que les fonctions é^, sin^ et cos^ sont des fonctions entières f les fonctions tangs et cot3, qui sont aussi uniformes dans tout le plan, ont un nombre infini de pôles.
Nous verrons dans le Chapitre suivant comment on peut les développer en séries de fractions rationnelles.
21. Nous n^avons considéré jusqu'ici que des fonctions uniformes, c'est-à-dire n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de z. Prenons maintenant l'expression
pour une valeur de :;, a a deux déterminations, mais on ne doit pas considérer ces deux déterminations comme représentant deux fonctions distinctes de z. En efiet, partons d'une valeur Zi^{z^r^à)^ et soit Mo "ne des déterminations du radical y/s^ — a. Traçons
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. l3l
dans le plan de la variable z un chemin allant de Sq à un point G| et ne passant pas par a; suivons par continuité la valeur de u k partir de la détermination choisie Uo pour z = Zq^ c'est-à-dire prenons, pour z voisin de Zq^ la valeur de u voisine de Uq et ainsi de suite de proche en proche. Nous arrivons ainsi au point z^ avec une valeur déterminée pour u. Deux chemins différents allant de ^0 à Zi donneront, à l'arrivée en ^i, la même valeur pour Uy si le point a n'est pas compris dans l'aire limitée par l'ensemble des deux chemins. En effet, en posant
z — a = p(cosO -f- isin 6), prenons pour Uq la détermination
^Zq — a = ^Po ( cos h « sin --- j
et pour valeur générale de y/s — a
^z — a = /p ( cos — h i sin -- J •
En faisant varier p et 0 d'une manière continue depuis (po? ^o) <^orrespondant à Zq, jusqu'à (pi, 0|) correspondant à z^ , l'argument Q| est bien le même, que l'on ail suivi l'un ou l'autre chemin, si le point a est extérieur à l'aire limitée par les deux chemins. U en est autrement si l'on a deux chemins C et C formant la limite d'une aire comprenant le point a {^g- i6). Si l'on part de Zo
Fig. i6.
avec l'argument 0© pour 5,, — a, et si 0| désigne encore Targument obtenu en arrivant en 5| par le chemin C, il est clair que le chemin C nous conduira en S| avec l'argument 0| — a're : nous trouverons donc, par le chemin C, la valeur
M, = /p, I COS h « sin — j
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|32 CHAIMTRK V.
et par le chemin C ,
a\ =— vpi ( cos H * sin— !•
Les deux déterminations de la fonction ne forment donc pas des fonctions distinctes. Ainsi, en particulier, si l'on part de Zo avec une certaine détermination, on reviendra en ce point avec Taulre détermination si l'on tourne une fois autour de l'origine.
Ces remarques sont bien simples; elles n'en ont pas moins joué un rôle considérable dans la Science, en appelant l'attention sur les fonctions non uniformes. On a considéré longtemps les deux valeurs de
u = yz — a
comme formant deux fonctions distinctes de z\ c'est qu'on ne s'attachait pas à l'idée de continuité pour définir au juste ce que l'on entendait par fonction. Nous venons de voir que c'est en suivant par continuité la succession des valeurs de u sur un chemin donné, que la valeur finale se déduit sans ambiguïté de la valeur initiale.
22. Un autre exemple de fonction non uniforme va nous être fourni par la fonction logarithmique. Cherchons les racines de
l'équation en u
z étant une quantité donnée; u esl par définition le logarithme de z. En posant
M = X-+-iY, -s = r(cosa -+- I sina), o*n a
donc
/• =z e^^ Y = a ^- 'iXr et, par suite,
(9) u = Logr + (a-h2A7r)i,
Log/- désignant le logarithme arithmétique de r: k est un entier arbitraire. Ces valeurs en nombre infini sont les déterminations multiples de log:;.
Si maintenant nous voulons considérer u comme fonction de c,
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nous partirons d'un poinl Zq avec une de ces déterminations et nous suivrons par continuité, comme nous l^avons fait au paragraphe précédent. On voit ainsi que la fonction log^ reprend la même valeur quand z revient au point de départ sans avoir tourné autour de l'origine. Au contraire, si le chemin partant de Zq revient en ce point après avoir tourné une fois dans le sens direct autour de l'origine, ao augmentera de 21c et, par suite, log2 reprendra sa valeur initiale augmentée de mzi.
La fonction log^ a donc une irifinhé de déterminations qui peuvent s'échanger les unes dans le^ autres en tournant autour de l'origine qui est un point singulier.
Cette fonction a une dérivée qu'il est facile de calculer; on a
Donc
ou
et, par suite, Ainsi
eu(e^'*—i)=z \z e« Aw ( iH h . . . ) = A5
,. lu 1 I
lim — = — = - .
As e'* z
du __ I liz " ~z'
Il en résulte que logs est bien une fonction analytique de z. On aurait pu le voir en partant de l'expression (9) et remarquant que Logr et a 4- 2^71 satisfont bien aux relations fondamentales
du dv du dv
dx ~ dy ày ^ dx
23. Considérons maintenant la fonction log(i -h z). Elle admet comme poinl critique le point 5 =: — 1 . Soit (C) {fig- 1 7) le cercle qui a pour centre l'origine et qui passe par ce point singulier A. A Tintérieur de (C), l'une quelconque des déterminations multiples delà fonction log(i +^) est uniforme et continue. Si l'on choisit celle qui s'annule avec ^, on reconnaît facilement que sa détermination est logAP-i-fa, a désignant l'angle des deux directions Ax et AP.
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l34 CHAPITRE V.
D'après le ihéorème de Caiichy, cette détermination est développable en série entière relativement à z, pour tous les points iniérieurs à G et Ton obtient
Z «* 5" loc(l-4-Z) = h... -h (—1 )"-+-> h
Nous avons déjà étudié ce développement (Chap.II, §22). Nous avons vu qu'elle coïncide avec celui que l'on obtient pour z réel.
Cette série est convergente dans tous les points de C sauf au point A; elle représente donc log(i + z) pour tous ces points, et peut être prolongée analjtiquement dans tout le plan. En allant du point P à un point F extérieur par deux chemins différents, on obtiendra pour log(iH-5) la même valeur, pourvu que ces chemins ne contiennent pas dans leur intérieur le point A. Soit M(i , 0) un point du cercle de convergence
On a
et
js = cos6 -h *sin6.
l0g(l -t- 5) = l0g2| COS 7) ^- « 7
, , ^ cos6-f-isin6 (cosO -h 1 sinB)*
ce développement étant valable pour toutes les valeurs de 6, sauf 6 = lii 71. On en conclut les deux développements
et
Iog(.C05^^)-=^
cos6 COS26
cos36
8 sin6 sin'iO sin'iO
GoogI(
FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. l35
Nous avons vu plus haut que la fonction u ^= logz a pour dérivée -; elle peut donc être représentée par l'intégrale curviligne
•'dz
r'di
le chemin qui va Ae z^k z élant dooné. Si l'on va du point A(2o) au point 8(5) {Jig- 18) par deux chemins qui ne comprennent
Fig. 18.
pas l'origine, le résultat sera le même. Mais si Ton va de A en B par deux chemins qui comprennent l'origine, tels que AMB et AM'B, on aura
