AM'B ^ *^A1I'A *^A1IB

Or la première intégrale est égale k iItz : donc on a, en désignant par u^ la seconde détermination de </,

m' = a -4- 2 1 ir.

Si le contour AM'B faisait k fois le tour de O, on aurait

m'= w -4- ikliz.

Nous retrouvons bien de la sorle les déterminations eu nombre infini de la fonction \o^z,

24. La définition de la fonction z'*^ se déduit de celle de logs, en posant

qui donne un sens à 5"*, quel que soit m. On voit que la fonction z^ a comme point critique le point 5 = 0, et, quand z tourne

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l36 CHAPITRE V.

autour de l'origine, la fonction se reproduit multipliée par e-'"^', puisque logz s'augmente de 2Tzi,

Considérons en particulier la fonction (i -f- s)'". Elle est développable en série convergente en tout point intérieur au cercle qui a pour centre l'origine et qui passe par le point singulier ^ = — I. Considérons celle des déterminations de (i H- 5)'^ qui devient égale à i pour s= o. Elle sera, d'après le théorème de Cauchy, représentée par la série

m m (m — 1) . m(m — i)...(m — AI-+-1) ^

que nous avons déjà étudiée précédemment (Chap. II, §23). De sorte que cette série, qui représente (i -t- z)'^ lorsque z est réel, le représente encore quand :; est imaginaire et de module inférieur à un» Sur la circonférence de convergence nous savons que le développement est ou n'est pas convergent suivant la valeur de m.