Le développement de l'irrationnelle
/i — 2aa7 -h a*
suivant les puissances de a se rattache à la question précédente. Bornons-nous au cas où x est réel. Cette irrationnelle est une fonction algébrique de a qui a deux déterminations. Choisissons celle qui, pour a=o, est égale à -f- i . Le rayon du cercle de convergence de son développement suivant les puissances entières de a est évidemment égal au module de la racine du polynôme I — 20LX -h a^ qui est la plus voisine de l'origine.
Si I :r I < I , les deux racines x ± i^ i — x^ sont imaginaires et leur module, indépendant de x, est égal à un. Le rayon du cercle de convergence est donc aussi égal à un quel que soit \x\. Si I j: I > I , les deux racines sont réelles et le rayon du cercle de convergence variable avec \x\. Dans les deux cas, on aura, pour tout point A pris à l'intérieur de ce cercle, un développement convergent de la forme
r^ = Xo -4- X, a H- Xa a* -h . . . -f- X,, a« H- . . .
/ 1 — ÀQ
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FONCTIONS d'une YAKIABLE COMPLEXE. 187
Lscs coefficients X„ sont connus sous le nom de polynômes de Legendre; X„ est de degré n en x.
Cherchons d'abord une relation de récurrence qui existe entre trois coefficients X„ successifs. En posant
on déduit, en dérivant par rapport à a,
dv (11) --- (i — 'lax -4- a*) = j'(r — a).
Prenons la dérivée /î.'^™" par rapport à a des deux membres de cette égalité. En appliquant la formule bien connue qui donne la dérivée d'un produit de deux facteurs, et en faisant a := o, on obtient
D'ailleurs, on a
et finalement la formule de récurrence cherchée est
ivx) (/i-+-i)X„^, — (2/i-hi)a™X„-f- AiX„,= o.
On en déduit que X„ est un polynôme de degré n en x : les deux
premiers sont
Xo=i, X, = x.
Pour jc = 4- I , on a X„ = i . Pour x ^= — i , on a X,/ = dz i , suivant que n est pair ou impair.
Ces polynômes jouissent de toutes les propriétés des fonctions de Sturm, comme on le reconnaît immédiatement. Pour j; = — i, la suite des polynômes Xo, X|, . . ., X/, présente manifestement n variations. Pour j? := + j , elle n'en a plus; donc, x croissant de — I à + I, la suite a perdu n variations; donc X,| a passé au moins par n racines; et comme ce polynôme est de degré n^ ses n racines sont comprises entre — i et + i .
Pour établir maintenant l'identité, à un facteur près, des polynômes X/, avec les polynômes que nous avons déjà étudiés (t. I,
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l38 CHAPITRE y.
p. 28), il suffira de démontrer que l'inlégrale
est nulle lorsque /{x) est un poljnome arbitraire de degré au plus égal an — i . Nous nous servirons à cet effet d'une seconde relation obtenue en dérivant par rapport à x les deux membres
de (10). On a
ây
~-(i — 2aa7 H- a*) = ay
et, en comparant avec (1 1), d'où la relation cherchée
(i3) xx;,— x'„i = /ix,j.
Multipliant les deux membres parar'"rfjr et intégrant de — i à -4-i, il vient
d*où, en intégrant par partie,
nj X'nX„dx=[T'^{xX„-Xn-t)]t\
— ( m -+- 1 ) / x"^Xndx ~\- ni j x^-^ X„-| dx.
Or {xX.n — X,||) est nul pour les limites -h i et — 1 : donc finalement
(14) f X^Xndx= ~ f^ X'n-^X„^,dx.
On a d'ailleurs
/ Xodx==i, I Xndx=:o (n^\).
Le résultat est maintenant immédiat : si /?? est </ï — i, l'inté-
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. I Sq
graie (i4) se ramène à une intégrale de la forme
^ndx in>i)
et est nulle. Il en est de même de Tintégrale
J /(T)X„dxy
où /{x) est un poljnome arbitraire de degré ^/i — i. Donc K„ satisfait à l'identité
OÙ A est une constante dont on trouve facilement la valeur
26. Parlons enfin, pour achever Ténumération des fonctions élémentaires, des fonctions circulaires inverses. La fonclion
u = arc tanp: z
sera définie par Téquation
tanga = z.
On peut trouver aisément l'expression générale de u, en remplaçant tang;/ par sa valeur en fonction d'exponentielles
sîn M gM/— -e-M/ ^ e»"^--i donc
I — Zl l-ir z
et enfin
I , * — Z ir I , z — i
a = — . log -r- = - H ; lag :•
La fonction arc tang^ se ramène donc à la fonction logarithmique. Ses points singuliers sont 5 = + î et 5 = — i. On définira d'une manière analogue la fonction
u = arc sin^
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par l'équation
qui donne
ou
et, par suite,
d'où se conclut
sin w = ^,
«**' = zi-h ^i — z^ , u — -rlogizi-h v^i — z^)
La fonction arc sin s s'exprime donc a l'aide de la fonction logarithmique.
27. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que des développements suivant les puissances entières de la variable. On peut, dans certains cas, par un simple changement de variable, développer une fonction sous une forme différente. L'exemple suivant est relatif au développement d'une fonction eu série d'exponentielles.
Soit /(5) une fonction uniforme et continue de 5 à l'intérieur d'une aire définie par deux parallèles à Oy» On suppose que cette fonction est périodique, l'amplitude de la période étant 27t«',
/{z-^^niTz) = f{z), de sorte que la valeur de la fonction au point A (/îg. 19) est la
même qu'au point B, si le segment AB parallèle à Oy est égal à 2/i7t, n étant un entier quelconque.
Posons
et cherchons quelle est, dans le plan des z' {/ig. 20), la région
FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. I^I
qui correspond à la bande, indéfinie dans les deux sens, comprise entre les parallèles MP etNQ. Soil x = a l'équation de la droite AB; Taffixe d'un quelconque de ses points est
z = a-h iy, et le point correspondant du plan des z' est
c^csl-à-dire qu'à la droite AB correspond dans le plan des z' une circonférence de ra^^on e" et de centre O'. Il s'ensuit qu'à l'aire
MNPQ correspond l'aire limitée par les deux circonférences concenlriques qui correspondent aux parallèles MP et NQ.
La fonction /(:;) va devenir une certaine fonction o{z') uniforme et continue dans l'espace annulaire compris entre ces deux circonférences. Elle sera par conséquent développable dans cette région par la formule de Laurent
Par suite /{z) sera représentée dans toute la bande MNPQ par la série
Si, au lieu de supposer la période égale à 211:, on supposait son amplitude égale à o, et que Taire soit limitée par deux droites parallèles à celle qui joint le point z au point z -h a, on obtiendrait
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l42 CHAPITRE y
l'expression
imiitz
