V. — Sur les produits convergents

28. Quoique nous devions faire peu d'usage de la représentation des fonctions sous forme de produit, il ne sera pas inutile d'indiquer quelques propositions générales relatives aux produits convergents. La théorie des produits convergents ne présente d'ailleurs aucune idée nouvelle, puisque la convergence d'un tel produit se ramène toujours à la convergence d'une série.

Nous commencerons par démontrer le théorème suivant :

Le produit

(n-ai)(i-f-ai)...(n-a«)...

sera convergent si la série

est convergente.

Nous pouvons supposer que lawl < i, quel que soit «, puisque nous pouvons laisser de côté des facteurs nécessairement en nombre limité où cette condition ne serait pas remplie.

Ceci dit, supposons d'abord les a réels. Le produit sera convergent, si la série

logu -h a,)-4- log(i -f- a,)-4-. . .-f- log(i -f- a^j-h. . .

est convergente. Désignons par b les termes positifs et par — c les termes négatifs parmi les a. La série

log(i -h bi )-+- Iog(i -H 6j)-+-. . .-H Iog(i 4- 6;»)-+-. . .

sera convergente, car log(i -h ^)<; ^ quand x est positif. Pareillement, la série

l0g(l — c, )-4-. . .-H log(l - C«)-i-. . .

sera convergente, car on a

iog(i-c«)=- fzrb;' o<e<i,

GoogI(

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. I^^

or le facteur r — tend vers un : la série convergera donc

I — ec„ ^

puisque la série de terme général Cn est convergente.

Passons maintenant à la série

(i-H w,)(i-ha,)...(r-+-art)...,

les u étant complexes. Soit u,i= a„-\- b,ti; les séries S|a;i| et 2|6/|| sont convergentes par hypothèse. Le carré du module de

(i 4- W|,) est

(n-an)*-+-6J ou l-h'laa■^a}^-^ b%.

La série de terme général

converge évidemment; par suite le module du produit tend vers une limite. Passons à Targument ; celui-ci est pour i + u„

v/(i-4.a„)«-ÔJ

et il faut montrer que la somme des arguments a une limite déterminée. Or cet arcsin est comparable à 6,„ ce qui rend évident le résultat que Ton veut établir.

29. Passons maintenant aux produits convergents représentant une fonction de s. On considère le produit

les fonctions /i( 5), .. ., fn{^)^ • • • sont des fonctions uniformes et continues dans le même cercle C de convergence. On suppose de plus, en représentant d'une manière générale par

la série obtenue en remplaçant dans fi{z) chaque terme par son module, que la série

Fi(Z)-+- F,(Z)-h. . . -h F«(Z)-+-. . .

converge quand Z est inférieur au rayon du cercle C.

Dans ces conditions nous voulons montrer que le produit (i5) représente une fonction holomorphe de z à l'intérieur de C.

GoogI(

l44 CHAPITRK V.

Considérons d'abord le produit convergent

Soit P,/Z) le produit des n premiers facteurs; nous pourrons mettre P//(Z.) sous la forme

P„(Z) = AS-+-AïZ-f-...-hAS,Z'«H-...,

A'', étant une constante positive. OrP„(Z) est plus petit que P(Z);

donc tous les ternies

sont moindres que P(Z). Mais quand /{ augmente indéfiniment (m restant fixe) les A^, augmentent. Par suite A,", pour /? =: 30, lend vers une limite que nous désignerons par A,«. Ceci dit, remarquons que l'on a

p^(Z)>As-4-A7Z-h...-+-A;}.Z'«

(en ne prenant que m termes); donc, m restant fixe et n augmentant indéfiniment, P(Z) est au moins égal à

Ao-+- A,Z-H...-h A^^Z^.

Puisque la somme des m premiers termes de la série

(£) Ao-4-A,Z-f-...-hA,„Z'«^-...

est moindre que P(Z), on en conclut que cette série (2) est convergente et a au plus P(Z) pour limite. D'aulre part, on a

P„(Z)< Ao-f- A|Z -h. ..-+- A„,Z'« -+-... .

On a donc les inégalités

P«(Z)<Ao-4-...-+-A,„Z'«^...<P(Z),

ce qui établit que la série (S) a P(Z) pour limite.

Nous allons maintenant achever aisément la démonstration. En prenant le produit des n premiers facteurs dans le produit (i5),

on a

<in{^) = aï H- ay z H- . . .-4- a;;, ^'" -f-. . . :

a^, est une somme de termes complexes; pour n = QO, c'est la somme des termes d'une série pour laquelle la série des modules est convergente; nous aurons donc une limite pour a^,, soit a„i.

GoogI(

FONCTIONS d'uni VARIABLE COMPLEXE. l45

La série

convergera manifestement, ei (f(z) coïncide avec la valeur Q(«) du produit convergent (i 5); on le voit de suite en remarquant que

or le second membre de celte inégalité tend vers zéro. Il en résulte bien que f{z) est égal à la Hmile de Qn{z)^ c'est-à-dire à Q{z), Ce produit convergent est donc mis sous la forme d'une série entière dans le cercle C et la proposition énoncée est complè(emenl établie.