VI. — Décomposition en facteurs des fonctions uniformes
30. La décomposition d'un polj^nome en un produit de facteurs linéaires est la proposition fondamentale de l'Algèbre. Considérant une fonction G{z), uniforme et continue dans tout le plan, on a cherché pareillement à décomposer G{z) en un produit de facteurs qui mette en évidence les racines de cette fonction. Cauchy y est arrivé dans des cas étendus, mais sans pouvoir toutefois traiter la question dans toute sa généralité. C'est à M. Weierstrass que Ton doit d'avoir étendu aux fonctions G{z)j que nous appellerons avec lui yb/ic^/o/15 entières, le théorème fondamental de TAIgèbre. Cet admirable résultat est le point capital du Mémoire de l'illustre auteur que nous avons cité plus haut (*).
Soit une suite de quantités
«1, aj, ..., Un, ..., rangées par ordre croissant de leurs modules et telles que
iim — =- o.
Si plusieurs de ces quantités ont même module, on rangera les quantités de même module dans un ordre arbitraire. D'après la
(*) On trouvera une traductioa de ce Mémoire dans les Annales de l'École Aormaie supérieure (1879).
GoogI(
l46 CHAPITRE V.
défini lion même du mot limite, il csl clair qu'élant donné un nombre quelconque R il n'y a qu'un nombre limité de valeurs des a donl le module soit inférieur à R.
Ceci posr, nous allons montrer qu'on joewi/o/mer une fonction entière G (5) ayant pour racines les quantités a et celles-là seulement. Si plusieurs quantités a sont égales, la racine sera d'un degré de multiplicité égal au nombre de fois que figure cette quantité.
31. Une remarque préliminaire nous sera indispensable. Soit une série
dont les termes sonl des séries entières convergentes dans un cercle C de rayon R ayant l'origine pour centre. Désignons par
la série obtenue en remplaçant dans fn{z) chaque terme par son module. On suppose que la série à termes positifs
(17) Fo(Z)-+-F,(Z)-f-...-hF«(Z)-h...
soit convergente pour Z<C R. Dans ces conditions, il est manifeste que la série (16) sera convergente dans le cercle C, et sera susceptible de se mettre sous la forme d'une série entière convergente dans ce même cercle; on peut, en effet, dans la série (16), modifier l'ordre des termes, puisque la série des modules de tous les termes, représentée par (17) est, par hypothèse, convergente.
32. Ceci posé, laissons de côté celles des quantités a qui pourraient être égales à zéro, et considérons l'expression
Si l'on suppose que \z\ soit inférieur à |av|, nous pouvons envisager
log«.^log(.-^-)+^^^^i(±)V...^-^(^)
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 1^7
Iog( I —] représentant une fonclion uniforme el continue dans
le àercle de rajon \a^\ et s^annulant pour ^ = o. On aura, par suite,
d^où Ton conclut
Nous voulons maintenant montrer que le produit infini
(18) UiUt,,.Uy..,
est convergent et représente une fonction entière de z s'annulant
pour
ai, aj, ..., av, ...,
y étant un entier quelconque. A cet effet, montrons que le produit (18) représente une fonction uniforme et continue de z dans le cercle de rayon a^. Laissant de côté les facteurs en nombre liuiité correspondant à des valeurs des a de module moindre que av, nous avons
La convergence du produit sera rétablie, si nous montrons que la série
