II = V
est convergente pour [^ | < |av|.
Nous avons là une série dont chaque terme est lui-même une série ordonnée suivant les puissances de ^; or on a
n\an\ n-hi\an\ Nous devons montrer, pour pouvoir appliquer le lemrae du para-
n an
an
GoogI(
l48 CHAPITRE V.
graphe précédent, que la série dont le terme général est
an
\an\
est convergente. Il en est ainsi, car le rapport d'un terme au précédent est
qui tend vers zéro à cause du facteur
Nous sommes donc assuré que la série (19) roprésente une fonction holomorphe dans le cercle de rayon |av|. Le produit (18) représente donc une fonction de z holomorphe dans ce cercle; cette fonction s^annule pour
«Il «îi •••• «VI
et elle n'a pas d'autres racines dans ce cercle.
L'entier v est d'ailleurs absolument arbitraire. On en conclut donc bien que le produit
U1U2 . . . li. . ..
représente une fonction entière de z ayant pour zéros les valeurs données et celles-jà seulement. Les facteurs u ont été appelés par M. Weiersiraiss facteurs primaires ; on voit que, outre le facteur
linéaire ( 1 ]> le facteur primaire Wy contient une exponentielle. C'est la présence de cette exponentielle qui rend possible la convergence du produit infini formé avec les facteurs u. Dans le cas où -2 = o devrait être racine multiple d'ordre X, on mettrait z^ en facteur devant le produit trouvé.
33. Nous venons de nous placer dans le cas le plus général. Dans certains cas particuliers, il sera possible d'employer des facteurs primaires un peu plus simples. Ainsi, supposons que la
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P05CTI0?(S d'une YARIABLE COMPLEXE. l49
série de terme général
p étant un entier déterminé, soit convergente. On pourra prendre
pour i/y
On le voit de suite, en se reportant à Tanaljse précédente : la série dont on a alors à montrer la convergence se réduit à la série de terme général
p la« I ^
dont la convergence est évidente d'après l'hypothèse faite plus haut.
34. Une première conséquence bien remarquable déduite par M. Weierstrass du théorème précédent est relative à la forme d'une fonction y(.3) uniforme dans tout le plan et n'ayant à distance finie que des pôles.
On peut, en effet, former une fonction entière G(2) ayant pour racines les pôles de /(2) et avec le même degré de multiplicité;
le produit
sera alors une fonction entière G| (z), et l'on aura par suite
f{z) peut donc se mettre sous la forme d* un quotient de deux fonctions entières. On remarquera que les fonctions G et G|, obtenues par les considérations précédentes, n'ont pas de racines communes, car les racines de G (2) donnent au produit y(2;G(2) des valeurs finies et différentes de zéro.
3o. Si, au lieu d'une succession de points
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l5o CHAPITRE V.
s'éloignant à l'infini, on a des points pour lesquels
iiin Un — a,
on pourra former une fonction ayant pour point singulier essentiel
le point a et les racines ût,, a^ ««* ... H n'y a en effet qu'à
prendre pour facteur primaire
et il n'y a rien à changer au raisonnement fait plus haut pour établir que le produit converge pour toute valeur de z différente de a. On suppose, bien entendu, les a disposés dans un ordre tel que \an — cl\ ne croisse pas avec n, La fonction ainsi trouvée sera
une fonction entière de > et, en désignant d'une manière
générale par G(^) une fonction entière de z, on obtient de cette manière une fonction
ayant comme unique singularité le point essentiel a et les zéros donnés par la série (20).
36. On peut bien aisément généraliser le résultat précédent (*), en l'étendant aux fonctions uniformes', continues pour tous les points du plan, à l'exception de ceux qui sont situés sur une circonférence C de rayon R et dont le centre est à l'origine.
Soit une suite de quantités
(21) Al, Ai, ..., A„, ...
telles que, en posant An= p//^'*", p« étant le module et a,, l'argument, on ait
et de plus
lim pn = R.
( ' ) E. Picard, Sur la décomposition en fadeurs primaires des fonctions uniformes ayant une ligne de points singuliers essentiels {Comptes rendus, 21 mars 1881).
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PONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXK. j5l
Nous allons montrer qu'on peut former une expression, dépendant de 2, uniforme et continue dans tout le plan en dehors de la circonférence, qui représentera une fonction analytique de -2 à Tin teneur et à l'extérieur de la circonférence et s'annulera pour tous les termes de la suite (21).
A la suite (21) associons une seconde suite
Bi, Bï, ..., Brt, ...
représentant des points situés sur la circonférence G et telle que
lim(A„— B„) = 0.
n=:ae
Ce choix peut être fait d'une inGnité de manières; il en est une îminédiate obtenue en faisant
B„= Re^ot».
Ceci posé, on prendra la fonction
en posant
La démonstration de la convergence de ce produit infini est immédiate. Écrivons, en eflTet, le facteur primaire sous la forme
-=(-xS^)'*'
Pour un point donné z qui n'est pas sur la circonférence, nous considérons les facteurs primaires à partir du rang v tel que
ce qui est possible, puisque le second membre de cette inégalité tend vers zéro avec -• On peut alors mettre u^ sous la forme
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l52 CHAPITRE y.
loiit à fait analogue à celle que nous avons obti^nue dans le cas du seul poinl singulier a. Il ne reste plus qu^à montrer que la série
(Vi)
représente une fonction analytique de z dans Tune et l'autre région du plan où
On pourra prendre pour une de ces régions l'intérieur d'un cercle F décrit de l'origine comme centre, dont le rayon convenablement choisi sera moindre que R, et pour l'autre l'extérieur d'un cercle F' dont le rayon sera supérieur à R. Ces deux circonférences sont d'ailleurs bien évidemment d'autant plus rapprochées de la circonférence C que V est plus grand.
H nous suffira de supposer z dans le cercle F. Chaque terme de la série (22) est une fonction analytique continué dans ce cercle. De plus, développons le terme général
suivant les puissances de z et voyons ce que devient ce développement quand on remplace chaque terme par son module. Or, quand on développe en série un terme quelconque de la suite précédente, et qu'on remplace chaque terme par son module, on obtient le développement de ce ternie où A„ — B;,) ^ et B„ ont été remplacés par leurs modules. On a donc, en employant les notations du lemme (§ 31)
et, par suite.
(R-Z) Il n'y a plus rien à changer à la suite du raisonnement : on voit
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. t53
de suite que la série de terme général F„(Z) est convergente, et, par suite, d'après le lemme, l'expression (22) est une fonction analytique dans le cercle F. On verrait de la même manière qu'elle jouit de la même propriété à l'intérieur du cercle V,
D'ailleurs, comme nous l'avons dit, ces deux cercles, si l'on prend v assez grand, sont aussi rapprochés que Ton veut du cercle C. Le produit convergent G {z) représente donc une fonction analytique et continue de z à l'intérieur et à l'extérieur du cercle C; il a de plus pour racines les points de la suite (21).
Il est clair que si la série de terme général
p étant un entier fixe, est convergente, on pourra prendre comme facteur primaire
en posant
On remarquera qu'en général l'expression précédente représentera deux fonctions analytiques distinctes à l'intérieur et à l'extérieur de C, c'est-à-dire que les deux fonctions ne seront pas le prolongement analytique l'une de l'autre (Chap. II, § 18). La circonférence pourra être pour la fonction une ligne de points singuliers essentiels. Nous sommes ainsi conduit au type de fonctions, dont nous avons déjà indiqué quelques exemples (Chap. Il, § 18), pour lesquels le prolongement analytique n'est pas possible au delà d'une certaine courbe.
37. Indiquons deux exemples très simples : Soit R =1 j ; posons A„=(i--^)€"^ [A: = o,i, ...,(n-i)].
On aura, sur le cercle de rayon i > /i points A formant les
sommets d'un polygone régulier. Quand n augmente indéfiniment, 00 a ainsi une suite de points tendant vers la circonférence de rayon un. Nous prendrons, comme point B,, correspondant à A,|,
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l54 CHAPITRE V.
le terme A,, — B^ sera donc
ikin
n et, par suite,
et il ne faut pas oublier que n racines de même module correspondent à rîndice n. Cherchons s'il y a une puissance p telle que la série
soit convergente. Cette série peut s'écrire
puisqu^il j A n termes pour lesquels | A„ — B,^ | a la môme valeur — • On pourra donc prendre
/> = 3, et le facteur primaire sera
La fonction représentée par le produit de ces facteurs ne pourra certainement pas s^ étendre au delà du cercle de rayon un, car dans le voisinage de tout point du cercle elle a une infinité de racines, ce qui est incompatible avec la possibilité d'une extension analytique.
Je donnerai un second exemple où le choix des quantités B sera
fait d'une manière différente. Supposons que Texpression générale
des racines soit
a, 6, c, d étant quatre entiers réels satisfaisant à la relation ad — 6c = I ^ on a ici R = I .
Nous prendrons B = ^ — j-.; le point B est bien sur la circonférence de rayon un et l'on aura
v/(6»-i-rf«)(a«-H6»-hc«-t-rf»-Hî)
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FONCTIONS D'DNK VARIABLE COMPLEXE. l55
La série niuUipIe dont le terme général est | A — B(^, a, 6, c, d
pouvant prendre toutes les valeurs entières possibles satisfaisant
à la relation
ad — 6c = 1,
est convergente : c^est ce que Ton reconnaît en considérant à la place de la série une intégrale triple convenable dont la valeur reste finie quand les limites deviennent infinies. On pourra, par conséquent, poser
le signe 1 1 indiquant le produit de tous ces facteurs correspondant à toutes les valeurs entières de a, b^ c, d qui satisfont à la relation ad — 6c = i .
38. Revenons à la décomposition d'une fonction entière en facteurs primaires. Nous nous sommes donné les racines, et nous avons obtenu une fonction entière G(3) ayant ces racines. Toute autre fonction entière Gj i^z) ayant les mêmes racines avec le même degré de multiplicité sera telle que
sera une fonction entière <p(^) ne s'annulant pas. Or, dans ces conditions, • , , sera encore une fonction entière; donc
H(z) représentant une fonction entière. Par suite on a
Gj(«) = G(^)<5»<-'.
Dans la pratique, pour une fonction donnée G|(^), la recherche de la fonction H(5) et l'étude de ses propriétés pourra présenter des difficultés. Ainsi, soit la fonction sin.3; ses racines sont données par
