AITT
n étant un entier positif ou négatif. Nous pouvons former une
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l56 CHAPITRE y.
fonction G{z) ayant ces racines; ce sera
le produit II étant étendu aux valeurs entières positives et négatives de /i, à l'exclusion de /i =^ o. On peut, dans le cas actuel, simplifier beaucoup en groupant deux à deux les facteurs corres-pondant à des valeurs de n égales et de signe contraire. Ce groupement est d'ailleurs celui auquel conduit l'application de la méthode, puisque, les racines étant rangées par ordre croissant de modules, les deux racines -t- nn et — mz se suivent nécessairement. On obtient ainsi
nml
il en résulte que
sin4J = G(x)c"").
Quanta la détermination de la fonction entière H(2), elle ne peut résulter de la théorie précédente. Nous verrons dans le Chapitre suivant que H (s) = o.
39. De la décomposition de la fonction désignée d'une manière générale par G{z), on conclut un développement de la dérivée
logarithmique
Cy'(z) G(z)'
on a
( z ) ^à \^z — Ov av \«v/ J
Nous obtenons donc ainsi un développement de -^r: — r en une
série de termes rationnels en z. Cette fonction a pour pôles simples les points
ai, «j, ..., Ov» •••»
et le résidu correspondant à chacun de ces pôles est 4- i •
Ce résultat conduit à se poser une question plus générale. En se donnant les points singuliers (pôles et points singuliers essen-
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. ihy
lîels isolés)
«i, «t, ..., an, ..., limart=«,
el pour chaque point singulier a,, la portion
(G/i étant une fonction entière donnée) qui, dans le voisinage de z = a«, ne sera pas holomorphe, peut-on former une fonctiony*( z) ayant les points a comme points singuliers, et telle que
/(^)-«"(ri^)
soit holomorphe dans le voisinage de anf II en est bien ainsi, comme Ta montré M. Mittag-Leffler ; nous nous contenterons d'énoncer ce beau théorème, renvoyant pour la démonstration au Cours d'Analyse de M. Hermite (4^ édition, Hermann; 1891) où Ton en trouvera de nombreuses applications.
La décomposition en facteurs primaires d'une fonction, pouvant avoir une ligne de points singuliers essentiels, dont j'ai donné le premier exemple en traitant le cas de la circonférence, conduisait à une question analogue relativement au cas où les points singuliers peuvent tendre vers les points d'une ou plusieurs lignes. M. Mittag-Leffler, s'inspirant toujours de la même idée, a traité ce genre de questions dans toute sa «généralité; nous renverrons à son remarquable Mémoire où l'on trouvera le développement complet de celte théorie (* ).
VII. — Sur quelques développements en séries; séries de polynômes.
40. Nous ferons maintenant quelques remarques sur certains développements en séries. Voici tout d'abord une remarque, qui
( * ) G. Mittao-Lkffler, Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uni/ormes d'une variable indépendante {Acta mathematica, t. IV; i884). Pour toutes ces questions on consultera aussi les Leçons de M. Borel : Sur la théorie des fonctions.
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l58 CHAPITRE y.
paraît due à Weierstrass, et qui généralise la propriété fondamentale des séries entières. Soit une série
(S) Mx) -hftKw) -T-. . .-f-/n(a7) H-. . .
dont le terme général fn{^) est une fonclion analytique uniforme et continue de x dans une aire A limitée par un contour simple C (*). On suppose, de plus, que la série formée par les f est uniformément convergente dans toute aire A' intérieure à A. On va démontrer que la somme F(:r) de la série représente une fonction analytique de x dans l'aire A.
Nous rappelons que la série (S) est dite uniformément convergente dans une aire A' limitée par un contour C, quand, un nombre e étant donné à Fuvance, on peut prendre n assez grand pour que le reste de la série ait un module inférieur à s, quel que soit le point x dans A! ou sur C.
La démonstration du théorème énoncé est immédiate, en se servant de l'intégrale de Cauchy. Prenons un contour fermé F situé entre C et C et n'ayant aucun point commun avec l'un et l'autre. En désignant par x uu point de l'aire A', on a
Par suite
dz.
Or, d'après nos hypothèses, la série (S) est uniformément convergente sur r. Donc, en prenant n assez grand, on a, pour un nombre e donné à l'avance,
/l(2)-H/t(5)-h...-h/«(4!) = F(2)-hp„,
I pn I étant moindre que e, quel que soit z sur T. Nous aurons donc, pour tout points situé dans A' (ou sur G'),
^ / X r / X r / ' r F{Z)dz I r prt C
(*) Nous supposons que le contour est simple uniquement pour abréger.
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FONCTIONS d'une VARIABL£ COMPLEXE. 1 69
Le module du second terme dans le second membre est moindre que
^rj 1
ds
ds étant Télément d'arc de la courbe F, et est par conséquent très petit si e est lui-même très petit. On en conclut que la série
/i(-^)-»-/î(ar) -h. . .-f-/„(a7) -f-. . .
a pour somme
-¥(z)dz
L'égalité qui vient d'être établie
démontre manifestement que F(:r) est une fonction analytique de X dans l'aire A' et, par suite, dans tout l'intérieur de l'aire A.
41. Prenons, comme application, une série considérée par M. Pringsheim et que nous avons déjà envisagée pour un autre objet (p. 27 du t. I, en note). Soit
^^^ ^ 1.2. ..V i-+-a»v;pj'
où nous supposons que a et X sont des constantes réelles avec |a I > 1 . On peut appliquer à cette série le théorème précédent. La série converge pour tout point dont Taffixe n'est pas de la forme
'—^ (v entier positif),
et elle converge uniformément dans toute aire qui ne comprend pas de tels points à son intérieur ou sur sa frontière. La fonction F(j:) est donc une fonction analytique uniforme de x dans tout le plan de la variable complexe x\ elle a pour pôles les points en nombre infini
Ces points sont sur l'axe des quantités complexes, et ont pour
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l6o CHAPITRB V.
iîinite l'origine qui est un point singulier essentiel de la fonction. Nous avons indiqué (note citée) que la série de Maclaurin formée avec les dérivées de la fonction précédente pour x = o était
Si X est négatif, la série converge, comme on le voit de suite, pour toute valeur de x. Mais la fonction entière ^(x) est distincte de F(^), qui a, à l'origine, un point singulier essentiel; le résultat énoncé {loc. cit.) est donc immédiat, quand on se place au point de vue de la théorie des fonctions d'une variahle complexe.
42. Les développements d'une fonction en série de polynômes appellent nécessairement l'attention. C'est un sujet dont nous nous sommes déjà occupé au Tome I de cet Ouvrage (p 2^5), mais il s'agissait alors de fonction d*une variable réelle. Prenons maintenant une fonction holomorphe d'une variable complexe x dans une aire A. M. Runge (*) a le premier établi (\u*une telle fonction peut être développée en une série de polynômes uniformément convergente dans toute aire h! intérieure à A. Nous allons suivre son analyse, dont le principe est extrêmement simple.
Nous partons d'une fonctiony*(:r) holomorphe dans une aire A limitée par le contour C et sur le contour de cette aire, de telle sorte que nous avons la formule de Cauchy, pour un point x intérieur à A,
•' ^ iLTZlJ^Z—X
En prenant des points 21,^2» • • • > ^n-i Zn^\ = ^i sur le contour C, on aura, d'après le théorème fondamental relatif à l'existence de l'intégrale définie
f(x) = -—. lim y
Zi — X
(*) c. RuNQE, Zur Théorie der eindeutigen analytUcfiên Functionen {Acta mathematica, l. VI, i885).
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PONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. l6l
quand toutes les différences s/^, — zt tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment. Posons
On sait que, pour une valeur donnée de x^ on peut prendre les intervalles ^z^, — zi assez petits et n assez grand pour que Q/i(^) diffère de/(:c) d'aussi peu que Ton veut. Avec plus de précision, en se donnant t^ à l'avance, on peut déterminer 8 et N de telle sorte que Ton ait
l/(ar)-Q„(ar)|<E„,
quand on aura tcjs les \zij^% — Zi\ inférieurs à 2 et n supérieur ou égal à N. De plus, il suffit de se reporter à la démonstration de ce théorème fondamental (par exemple, t. I, p. 3) pour reconnaître que ces approximations sont indépendantes de x^ pourvu que X reste dans une aire A' intérieure à A.
Nous concluons de là que Ton peut, dans l'aire A', représenter /{x) par une fonction rationnelle
avec une approximation supérieure à £/,, et cela quel que soit x dans A'. Les pôles de cette fonction rationnelle, qui sont les points Zi^ sont extérieurs à A^ D'autre part, étant donnée une fonction Q/i(^) dont les pôles sont extérieurs à A', on peut déterminer un polynôme P/i(^) tel que
1 P/.(ar) — Cla{x) \<y\n ( dans l'aire A'),
y\n étant un nombre donné à l'avance. Cette remarque est évidente, puisqu'elle est manifestement exacte pour une fonction
rationnelle
On aura donc, par suite,
I/(ar) — P«(ar)|<e«-f-r,„= a«
ou encore, en d'autres termes, on peut, étant donné un nombre
positif aussi petit que l'on veut, a^^, déterminer un polynôme en x^
P. - n. Il
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Pft(x)j tel que
pour tous les points de l'aire A'.
La dëmoostration s'achève maintenant, comme pour le théorème de Weierstrass dans le cas d'une variable réelle (t. I, p. 279), et nous pouvons conclure que toute fonction holomorphe dans X peut être développée en une série de polynômes uniformément convergente dans toute aire A' intérieure à A.
43. Dans le cas où le contour C limitant l'aire A est convexe, M. Painlevé (*) démontre le théorème précédent de la manière suivante, en admettant de plus qu'on puisse en chaque point M de ce contour tracer un cercle tangent en M au contour et le comprenant à son intérieur; la position de ce cercle variera d'une manière continue, sauf aux points anguleux, s'il y en a. On vérifie sans peine que la construction de ces cercles est possible si, en chaque point d'un contour convexe C, la courbe a un contact simple avec sa tangente. M étant donc un point quelconque du contour, soit F le cercle tangent à C en M. Désignons par z Taffixe de M, par a l'affixe du centre de F; nous aurons, a; étant intérieur à S,
= ^ -, ; -f-...-+- -r TTT -+-...= A (-3).
Faisons parcourir au point M la courbe C, a variant avec z d'une manière continue (sauf aux points anguleux de C). La
série A(z) converge sur G uniformément et représente • En
remplaçant donc par ce développement dans la formule de Cauchy, il vient
„, . » "V r l(^}(-r--ay»dz v* . ^
Prt(x) désignant un polynôme en x de degré n. Nous sommes (*) p. Painlsvê, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1888.
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PONCTIONS d'une VARIABLE COMPLBXR. l63
doDC aiosi conduit au ihéorème du paragraphe précédenl pour le cas d^une aire convexe ( * ).
44. Je ne puis songer a cilcr lous les travaux intéressants se rapportant aux développements des fonctions en séries de pol}^nomes. Mentionnons seulement un Mémoire où M. Hilbert (6rô7^. Nachr., 1897) démontre par une autre voie le théorème de M. RuDge et une Note de M. Paiulevé sur le même s\i]ei {Comptes rendus, 1898). Les travaux de M. Mittag-Leffler se rapportent à un ordre d*idées un peu différent {Acta mathematica, t. XXIII et suivants). Nous allons en dire un mot, en nous plaçant au point de vue adopté par M. Borel dans cette question (').
Considérant Texpression
UOU5 allons admettre que Ton peut développer cette fonction en une série de polynômes
Pi(«*)-+-Pj(w)-+-----H-P/i(")+...
qui soit uniformément convergente dans toute aire finie n'ayant aucun point commun avec le prolongement (1, +00) de la droite joignant l'origine au point k/z, qui va de ce dernier point à Pinfini. La possibilité d'un tel développement peut se démontrer de diverses manières; devant le déduire, au Chapitre XI, d'une remarque générale sur les équations différentielles, nous l'admettroos pour le moment. Nous désignerons par A le plan de la variable u où Ton a tracé la coupure (+1 1 oc). Ceci posé, définissons ce que M. Mittag-Leffler appelle Vétoile correspondant à une série entière
a9-\-aiZ -h. . .H- a,„«'«-H.. ..
Cette série, nous le supposons, a un certain cercle de conver-
( ■ ) Voir, dans an ordre d'idées analogues, 1« Mémoire de M. Appell Sur te* déCeloppemenU en séries dans des aires t imitées par des arcs de cercte (Acta malhematica, t. I).
(») E. Borel, Mémoire sur les séries divergentes {Annales de V École Normaie, 1899).
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l64 CHAPITRE V.
gence; effectuons son prolongement analytique le long d'un rayon déterminé, c'est-à-dire en prenant sur ce rayon les centres des circonférences servant à faire le prolongement. On pourra, en opérant ainsi, aller jusqu'à l'infini ou être arrêté en un certain point M, qu'on ne pourra pas dépasser. Si l'on opère ainsi pour tous les rayons de la circonférence, on aura une succession de points M (qui pourront être, en totalité ou en partie, à l'infini); l'ensemble des rayons compris entre l'origine et chaque point M formera une aire qui est l'étoile E que nous voulons définir. On a dans l'étoile une fonction holomorphe, qui est le prolongement de la série entière donnée. Le théorème de M. Miltag-Leffler consiste en ce que cette fonction peut être développée en une série de polynômes uniformément convergente dans toute aire intérieure à V étoile, les coefficients de ces polynômes s' exprimant linéairement à Vaide des a et de quantités numériques.
Pour démontrer ce théorème partons, avec M. Borel, de l'intégrale de Cauchy
'^ ITZlJ 37 — ,
Désignons par C, dans le plan de la variable complexe 3, une courbe limitant une aire intérieure à l'étoile E; c'est sur cette courbe qu'est prise l'intégrale ci-dessus. Posons
Donnons à x une valeur variable mobile sur la frontière de Tétoile et à z une valeur fixe, quelconque d'ailleurs, à l'intérieur de l'étoile, le point u se déplacera dans A sans traverser la coupure (i, Qo); car, si u devenait réel et supérieur à iz/i, l'égalité
montre que le point z serait sur le rayon allant de l'origine à a: et au delà de ce point, il serait donc extérieur à l'étoile. Nous concluons de là que, si x décrit un contour C suffisamment rapproché de Id frontière de l'étoile, z étant toujours intérieur à l'étoile, le point u restera dans une aire A' intérieure à A.
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PONCTIONS d'une YARIÀBLE COMPLEXE. l65
Supposons que, dans rintégrale que j'écrîs sous la forme
■dx .
le contour G soît celui dont il vient d'êlre parlé-, on peut développer
en série de polynômes, comme il a été dit,
A cause de la convergence uniforme de celte série, on pourra intégrer terme à terme, et l'on aura ainsi
Les termes de cette série sont manifestement des polynômes en ;;, remplissant les conditions énoncées; le théorème de Aï. Alittag'Lejffler est établi.
Nous dirons encore au Chapitre X quelques mots sur cette question du développement en série de polynômes, quand nous aurons étudié le problème de la représentation conforme.
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t66 CHAPITRE Vf.
APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE CAUCHY SUR LES FONCTIONS D'UNE VARIADLE COMPLEXE.
I. — Recherches de quelques intégrales définies. Développement en sériés de fractions rationnelles.
1. Cauchy a donné de nombreux exemples de recherches d'in- Ifégrales définies effectuées à l'aide de ses théorèmes généraux, l>articulièrement du théorème sur les résidus.
Prenons tout d'abord le cas très simple de l'intégrale
P et Q désignant des polynômes. On sait que cette intégrale aura un sens si le polynôme Q{x) n'a pas de racines réelles, et si le degré de P est inférieur d'au moins deux unités à celui de Q.
Dans le plan de la variable complexe z = x -^yi, considérons la partie supérieure correspondant à j^ > o, et traçons dans ce demiplan une demi-circonférence de très grand rayon / ayant l'origine pour centre. Cetle demi-circonférence, avec son diamètre, limite une certaine aire; nous pouvons appliquer le théorème des résidus à l'intégrale
