PU
en a ainsi
dz,
.// Q(-^) Je Q(^) £R désignant la somme des résidus relatifs aux différents pôles de
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APPLlGATIOPiS DES THÉORÈMES DE CALCnV. 167
^ry-T conlenus dans la parlie supérieure du plan. Or, quand /
augmente, indéfiniment, la seconde de ces intégrales tend vers zéro, puisque, enposant 3 = pc^', le degré de P( 3) rf^ en p est inférieur d'au moins une unité à celui de Q(3). On aura donc
îl suffira de calculer les résidus deTYTT correspondant aux différents
pôles situés au-dessus de Ox,
Voici un second exemple tout aussi élémentaire. Soit à calculer l^intégrale
/(sina?, cosa-) dx^
y étant une fonction rationnelle de sin^ et coso:. Si Ton remplace sin^ et coso: par leurs valeurs
sina:= : y cosa* =
Il 1
et si Ton pose
on aura l'intégrale
j¥{z)dz,
F(:;) étant une certaine fonction rationnelle de z. Quand x varie de o à 27C, le point z décrit la circonférence de rayon un\ IMntégrale précédente doit donc être effectuée le long du cercle de rayon un. On aura sa valeur en appliquant le théorème des résidus.
Soit, par exemple, à calculer par cette méthode
dx
J C0SJ7 -+-rt ^
En posant co^x = — — et <?'•*■= g, elle se réduit à
2 r dz
dz
Des deux racines de -s^-f- 2a5 -f- 1, une seule z = — a -\-^a* — i est comprise à l'intérieur du cercle C de rayon égal à un, et le résidu correspondant à celte racine est
d'où Ton conclut
J^ cosarH-a [t îy^a» — ij v^^ï^^^
2. Les intégrales précédentes se calculent de suite par des méthodes élémentaires. Voici d'autres cas où la recherche directe de l'intégrale est plus difficile.
Prenons l'intégrale
Jr* sînar .
que nous avons déjà étudiée (t. I, p. 38). On peut la remplacer par l'intégrale
dx.
dont la valeur est évidemment double.
Or, considérons l'intégrale
' c'- dz
eiTecluée le long du contour suivant. On trace dans le demi-plan supérieur un demi-cercle y d'un très petit rajon OB et un demi-
cercle r d'un très grand rayon OA (Jig- 21). On intègre le long du contour formé par A'B' le demi-cercle y, la droite BA et le demi-cercle F. Cette intégrale est nulle, puisque la fonction ^ esl
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APPLICATIONS DRS THÉOBÈMES DK CAUGHT. 169
continue à Tîntérieur de l'aire. Quand le rayon de F augmente
indéfiniment, l'intégrale correspondante à ce demi-cercle tend vers
zéro, car, en posant
z = R(co86 4- isinO),
et l'on voit que l'intégrale est nulle pour R = oc, puisque sin 8 > o. Prenons maintenant l'intégrale le long du demi-cercle y* On aura
et pour R = o, celte intégrale sera égale à — ni.
Il reste les intégrales le long de A'B' et le long de BA : les parties réelles se détruisent. Finalement on obtient, en passant à la limite,
{ sinâ7
■dx — 7c/ = 0,
d'oii se conclut
%\ïïx dx ^ ir X ""2
