Soit encore à calculer l'intégrale ' x^inmx

dx (m > o, a > o),

qui est une généralisation de la précédente. On va considérer l'intégrale

dz

z*-ha'i

effectuée le long du périmètre d'un demi-cercle tracé dans le demiplan. On voit, comme plus haut, que l'intégrale le long de la demi-circonférence tend vers zéro quand le rayon augmente indéfiniment, et il reste comme valeur de l'intégrale le long du contour

. r xsmmx , i I __ ^dx.

GoogI(

CnAPITRR Vf.

D'antre pari, dans le demi-plan supérieur, existe le seul pôle z = ai, dont le résidu est

On a donc la formule

d.r = TT «-«'«.

qui, pour a = o, donne le résultat du paragraphe précédent.

4. L'intégration de la fonction e~'* le long d'un contour convenable conduit à des résultats intéressants.

Fig. 21.

Menons {/ig. 22) au-dessus de l'axe des x la demi-droile OB, faisant avec Ox un angle a inférieur h .y> et décrivons avec un

rajon OA l'arc de cercle AB. On a

e~=* dz = o,

l'intégration étant faite le long de OABO. Or, quand le rayon du

cercle augmente indéfiniment, l'intégrale le long de AB tend vers zéro; en eifet, en posant

z = R(cosO -r- « sinO), cette intégrale prend la forme

or le produit

(1) Re-R'c«.te,

6 variant de oà a, (a < t)» tend vers zéro quand R augmente iudc-

GoogI(

finîment. On aura donc

dans la première intégrale j; va de o à oo sur l^axe réel, dans la seconde 3 va de o à a> en suivant la deml-droile OB. Or, le

premier membre est égal (t. I, p. ii6) à - y/ir : par suite on a I e-p»<eotî«+«.iiiîa)(cosa-+- i s\n%) dp = -v^. Celte relation, qu'on peut mettre sous la forme (i) I c— P*^"'*[cos(p* sînaa) — isin(p'sin2a)l(cosa -4- isina)£/p = - v^» fait connaître les valeurs des deux intégrales (3) f c-p'eo«««cos(p*sin2a)é/p, j «-?•«»•«« sin (p« sin 2a) û?p :

je ne m'arrête pas à les écrire. Le cas le plus intéressant est le cas limite de a= 7; a priori il n'est pas rigoureux de faire

directement dans la formule (2) oL=jy cette formule n'ayant

été établie que pour a < t> puisque pour ^ = j l'expression ( 1 )

ne tend pas vers zéro pour R infiniment grand.

Le résultat est cependant exact, et la raison en est que les deux intégrales (3) sont des fonctions continues de a quand a est in/é-

)u egai courbe

rieur ou égal à -• C'est ce que l'on peut établir en considérant la y = e— *'<^®*»* sin(a?' sinax)

qui se compose d'une infinité de branches alternativement au-dessus et au-dessous de Ox^ de sorte que la seconde des intégrales (3) se trouve représentée par une séxie à termes alternativement positifs et négatifs : c'est ce que nous avions déjà vu (t. I, p. 38)

pour le cas de a= -• Or le reste, dans une telle série, est moindre

GoogI(

172 CHAPITRE Yl.

en valeur absolue que le dernfer terme conservé et ce terme est évidemment une fonction continue de a, pour a inférieur ou égal

à 7- Par suite, la série est elle-même une fonction continue de a

dans les mêmes conditions. On raisonnerait de même pour la première des intégrales (3).

Faisons donc a=: -r» dans la formule (2) : il vient ainsi

5. Une application d^un caractère plus général du théorème des résidus nous sera fournie par la méthode de Cauchy pour le développement d'une /onction en une somme d'une infinité de termes rationnels,

So\if{z) une fonction uniforme dans toute l'étendue du plan^ et n^ayant pour points singuliers que des pôles. On considère un contour fermé C, qui va s'étendre indéfiniment dans tous les sens. L'intégrale

•ITUJ Z—X

prise le long de C, x désignant un point quelconque à l'intérieur, sera égale à

/(a7) + 2R(ar),

R(:c) désignant les résidus de { par rapport aux différents

pôles de f{z) contenus dans C.

Remarquons d'abord que ces résidus sont des fonctions rationnelles de j: : car, dans l'entourage du p"ôle z = a, f{z) étant représenté par un développement de la forme

le résidu de ^ ^'^ relatif à ce pôle, est

APPLICATIONS DBS THÉORÈMES DE CACCHY. 178

Cela posé, eflecluonsle développement de ——— en nous arrêtant au premier terme : Pintégrale (4) pourra s'écrire sous la forme

e tendant vers zéro quand \z\ augmente indéfiniment, et finalement ou aura l'égalité

le signe ^ ei^primant la somme des résidus R(^), relatifs aux

pôles contenus dans C.

Supposons maintenant que l'on puisse étendre indéfiniment le contour C dans tous les sens, de façon que, sur les contours successifs

Cl, Ci; ..., Cfl, ...,

le module /(>s) reste toujours moindre qu'un nombre fixe M. Dans ces conditions, la deuxième intégrale, dans le second membre de (5), tend nécessairement vers zéro quand on prend un contour Cn suffisamment grand. Il suffit, en efiet, de supposer, comme il arrive en général, que la longueur S/i du contour de C/, soit du même ordre que la distance minima R/^ de l'origine au contour; le module du terme considéré est alors moindre que