X\ MS

Or, -g^ restant fini par hypothèse, ce terme tend vers zéro avec -•

Deux cas pourront alors se présenter. Supposons, en premier lieu, que Tîntégrale

fi^dz

ait une limite; ce sera une constante A qui ne dépendra pas de x^ et l'on aura, moyennant ces diverses hypothèses,

/■(ar) = A — SR(ar).

GoogI(

Les termes R sont en général en nombre infini; Tordre dans lequel ils sont écrits est déterminé par la succession des contours C|, Ca, ..., C„, .... On obtient donc, de celte manière, le développement de/(j") en une somme d'une infinité de termes rationnels.

Eu second lieu, il se peut que l'intégrale

n*ait pas de limite : la série SR(a:) est alors certainement divergente. Dans ce cas, on peut encore représenter /(j?) par une série convergente, mais à la condition de retrancher de chaque terme de la série divergente 2!R(â;) une constante convenable.

Pour le montrer, supposons d'abord que le point j? = o soit un point ordinaire àe f{x). L'égalité (5) donne, en faisant x = o,

d'où

et, en passant à la limite,

(6) n^)=^no)^^[K{x)^?.{o)\,

Les R(o) ont une valeur finie puisque le point ^ = o est un point ordinaire. La série qui forme le second membre est convergente.

Si le point 5 = o était un pôle, en sorte que, dans l'entourage de ce point, on ait

il suffirait, dans les calculs précédents, de substituer à f{z) la fonction

(5. Le raisonnement que nous venons de faire repose sur ce que

GoogI(

/e iundiile de f{z) reste toujours inférieur à un nombre fixe M sur les contours successifs C|, ..., G,|. 11 se peut que celte con-

dilion, n'élant pas satisfaite pour f(^z)^ puisse l'être pour ^^^ -

Nous effectuerons alors le développement de jusqu'au terme

en ^J^^ ; d'où Tégalité

) ^^ rmd,^^ r/(.)(.-.e) ^y

Nous supposons d'ailleurs que 3 = 0 n'est pas un pôle de /(5). Or coosidérons l'une des intégrales

2frJ^,^ z^ -^

Elle est égale à la somme des résidus ta de la fonction -=^-^ > relatifs

aux pôles àe^ f(z) contenus dans le contour G/, et au point ^ = o; en sorte que l'on a

Réunissant ensemble tous les résidus relatifs au même pôle, Fégalité (7) se transforme ainsi dans la suivante

—^{^i^) — ri — r,ar— . . . — o^+iar/'J

^^^ /^/(^)(i-he) d'où l'on conclut

/(*) =/(0) + f /'(0)+.. .+ -J-£f-JJ /iSi

— 2[R(*) — '1— ria- — . . .— rp+iar/»]

GoogI(

En passant à la limite, l'intégrale qui entre dans le second membre tend nécessairement vers zéro, et l'on a

/(^)=/(o) + y/'(o)+...^.j-^/iJ)

7. Un cas intéressant à considérer est celui où F(^), désignant une fonction uniforme et continue dans tout le plan, dont les racines rangées par ordre de module sont

aj, ai, ..., a,«, ..., on pose

avec l'hypothèse

j— j < M, sur les contours successifs C/|.

Supposons, en outre, pour plus de simplicité, que les racines soient simples et que le point z = o n'en fasse pas partie.

Le résidu de *^ relatif au pôle am est — ' — > celui de *^ f ^

est —J- et Ton trouve, en appliquant la formule (8),

D'où, en intégrant entre les limites o et ar, et en posant aA='^ — ^ >

et, en prenant les exponentielles.

Nous obtenons ainsi la décomposition de F(^) en facteurs pri-

APPLICATIONS DBS THÉORÈMES DE GAUGHY.

maires daDS le cas particulier où cette fonction satisfait à la condition

F{z)zP

sur les contours d, et cette méthode nous donne en même temps la fonction H (2) dont il a été parlé dans le Chapitre précédent (§ 34). On voit que l'on obtient ainsi la décomposition de la fonction en facteurs primaires. A la vérité, nous avons dû faire une hypothèse très particulière sur F(^), mais nous avons l'avantage de déterminer te facteur exponentiel qui reste inconnu dans la théorie de M. Weierslrass.

8. Bornons-nous, comme application, au développement de la fonction cot^. Cette fonction a une infinité de pôles simples, donnés par la formule

^ = /lit (/l = o, ±1, ±2, ...)

et qui sont les racines de sin^;. On va prendre comme contour d'intégration C/i un carré tel que BCB'C {fig» aS) dont le centre

Fig. q3.

-ïHa'

est à l'origine, et dont les côtés, parallèles aux axes, ont pour demilongueur

OA = mz -h ~ = a„,

de telle sorte qu'aucun pôle ne se trouve sur ce contour. Cela P. — II. la

GoogI(

178 CHAPITBB yi.

posé, le carré du module de col^ esl

(z = X -^ ly).

Sur les côrés CB et CB', on a cos2X = — i : le module est donc toujours inférieur à un.

Sur les côtés BB' et C'C ce module est inférieur à

ï H e-iy |t

Cette expression reste finie, lorsque y augmente indéfiniment.

Donc cot^ satisfait bien à la condition que nous avons imposée à J(z); son module reste sur le contour d moindre qu'un nombre fixe M, quelque grand que soit /{.

Le résidu de pour^ = mz est > et par suite on a

(9) R(a,) = ___ (,1 = 0, zti, ±2, ...).

Or la série ^ -— - est divergente. Nous devons donc employer

le second procédé de calcul, et, comme le point ^ = o est un pôle simple, nous substituerons à la fonction cot^ la fonction

qui admet les mêmes pôles, sauf ;; = o. Les résidus de cette fonction sont encore donnés par la formule (9), en supprimant n = o. Finalement, en appliquant la relation (6), on trouve

cota: = — lira > ( ),

c« ou

colj:= - -hVf ' ^ —] (/i =±i, ±2, ...).

Du développement précédent on peut déduire la formule de dé-

GoogI(