APPLICATIONS DRS THÉORÈMES DE GAUCHY

composition de sino: en facteurs primaires. On a en effet

d . sinr V? F ^ i / v d x 1

dx ^ X ^Idx ^ ^ dx nr.]

Multipliant les deux membres de cette égalité par dx, et intégrant de o à J?, on trouve

d'où

sina7 = a?JJ[c^n— ^j (/*=±i, ±2, ...),

€t, en groupant deux à deux les facteurs correspondant à des valeurs de x égales et de signe contraire,

sin^ = ^J](,-^.).

Nous avons déjà obtenu cette formule, mais affectée d\in facteur e"<-^^ (Chap. V, § 34) qui était resté indéterminé.

n. • Méthode de Cauohy pour obtenir la série de Fourier et des séries analog^ues.

9. Une des applications les plus remarquables que Gauchy ait faites du calcul des résidus est relative à certaines séries comprenant en particulier la série de Fourier. Nous allons traiter avec quelques détails de cette belle méthode (*).

Soit ^(z) une fonction analytique ajant, à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon r, un certain nombre de pôles; on aura

<io) -!-. rj{z)ds^I,R,

(*) Oo trouvera plusieurs Mémoires sur ce sujet daos le Tume VII (2* série) des Œuvres compiète* de Cauchy; voir particuliéremenl : Sur les résidus des /onctions exprimées par des intégrales définies (p. BgS). Nous avons cherché à coubler quelques lacunes dans les démonstrations de Tillustre géomètre.

l8o CHAPITRE TI.

rinté^ale étant prise le long du cercle et la sommation du second membre s'élendant aux résidus R des pôles situés dans le cercle. En posant

z = re¥, l'égalité (lo) s'écrit

-^r 1 â(re9i)e¥ rfcp = 2 R,

qui peut encore prendre la forme

. î las

OU, enGn, en changeant dans la seconde intégrale ^ en <9 + tt,

Ceci posé, attribuons à r une suite de valeurs r^^ /'a, ..., r^, ..., augmentant indéfiniment, et supposons que, n augmentant indéfiniment, le produit

(11) f [i(^)-i(-^)] ou ^e?/[i(r„e?0'-i(-'-««?0]

tende uniformément vers une limite F indépendante de o, quand

cet argument est compris entre et -» c'est-à-dire quand z

augmente indéfiniment, sa partie réelle n'étant pas négative. On en conclut