F = SR

le second membre étant une sommation indéfinie étendue au3L résidus de tous les pôles de la fonction S{z),

On pourra, en particulier, appliquer la formule (12), si le produit zS{z) tend uniformément vers une limite fixe F indépendante de o (variant de o à 27î), auquel cas l'expression (i i) aura précisément cette valeur F comme limite. On peut aussi supposer que les produits zS{z) et ( — -3)4" ( — -3) tendent séparément et

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APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAUCHT. l8l

uniformément vers deux limites différentes quand z augmente indéfiniment, sa partie réelle n^étant pas négative.

Enfin la formule précédente (12) subsistera si Ton fait Thypothèse que, pour un nombre limité de directions 90 de q, Texpression (11) n*a pas F pour limite, pourvu que cette expression reste finie dans le voisinage de çpo» On pourra en effet isoler un certain nombre d'intervalles angulaires (©0 — s, o© H- e), e étant aussi petit que Ton voudra : la part de ces intervalles, dans Tintégration (10), tendant vers zéro avec e, la formule (12) subsistera.

10. Appliquons les considérations générales qui précèdent au cas où *

Tt(Z)

X étant un paramètre qui va être supposé réel; les fonctions <J^, ir, /"sont des fonctions holomorphes de z.

S'il existe ici une limite F, cette limite dépendra généralement de x\ nous la désignerons par F(::é), et la formule (12) deviendra

la sommation dans le second membre étant étendue aux racines X de l'équation

C'est de la formule (i3) que Cauchy a déduit divers développements intéressants, en particulier le développement de Fourier. Nous allons approfondir les conditions dans lesquelles ces développements sont légitimes, en particularisant la fonction /(2, a*).

Nous prenons pour/(5, x) la fonction

/{]».) désigne une fonction de tx satisfaisant aux conditions que nous avons appelées conditions de Dirichlet dans l'étude de la série de Fourier (t. I, p. 235).

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l83 CHAPITRE VI.

Nous devons d'abord éUidîer l'expression (i i) qui devient ici

Il faut chercher la limite de cette expression, quand z augmente indéfiniment de telle manière que sa partie réelle ne soit pas négative et que son module reste dans la suite r,, Tj, ..., r/,, —

Supposons que 3L- — l tende, dans ces conditions, vers une limite c, à l'exception peut-être seulement de certaines directions q» en nombre limité, pour lesquelles d'ailleurs le quotient précédent aura un module inférieur à une quantité déterminée; ce que nous

exprimons en disant que ri,\ a, en général, c pour limite. Oa suppose pareillement que

tend en général vers zéro.

Remarquons d'abord que le produit

reste fini. Il suffit évidemment de le montrer pour l'intégrale

dans laquelle on suppose e assez petit pour quc/(tji) varie dans le même sens, par exemple en décroissant, de x^^ k x^'\- e. Or, en posant

nous avons à étudier les intégrales

P/(,i)rflx et / Q/{ix)6?HL.

Bornons-nous à la première; elle peut s'écrire, d'après le second

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APPLICATIONS 0BS THÉORÈMES DE GAUCHY. l83

ihéorème de la moyenne (t. I, p. 9)

/■(a-o) f ' PrfiJL (o<r,<e).

Or rinlégraie figurant dans ce produit est la partie réelle de

elle reste donc finie.

Ces diverses hypothèses faites, nous pouvons trouver la limite de Texpression (i4)* ^^ premier terme de celte expression peut s'écrire

il tendra donc vers zéro. Le second tend vers

en supposant que cette dernière limite existe. Nous allons voir qu'il en est ainsi et qu^elle se réduit précisément à /{x). Il esl évident d'abord que

1 e-*^-"l^/([A)rfji = 0 (6>0),

quand z s'éloigne indéfiniment dans une autre direction que l'axe des^. Nous pouvons donc nous borner à étudier l'intégrale

or elle peut s'écrire

le premier terme se réduit à

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Daos le second, en supposant e assez petit, la difTérence

variera dans le même sens, puisque la fonction n^a pas un nombre infini de maxima et de minima; supposons, pour fixer les idées, qu^elle aille en décroissant quaùd ;jl variera de :r — e à x. Si nous posons

l'intégrale que nous discutons ici devient

ou bien, d'après le second théorème de la moyenne,

Ç et Ç' étant compris entre x — e et x. Or chacune des intégrales figurant dans la parenthèse a, quel que soit z^ une valeur finie : ainsi la première est la partie réelle de

expression finie, quel que soit z^ sa partie réelle n'étant pas supposée négative.

La quantité e étant aussi petite que l'on veut, il en résulte que le second membre de (i5) a zéro pour limite quand ^ augmente indéfiniment, et le premier a f{x) pour limite, si toutefois z ne s'éloigne pas à l'infini dans la direction de l'axe des y. Dans ce dernier cas, on ne peut pas affirmer que l'expression

-s(jr-

^f(<\^)dlL

a/(a:) pour limite, mais seulement qu'elle reste finie, comme on le voit par un calcul analogue où l'on applique le théorème de la moj^enne.

En résumé, la fonction F(a:) du paragraphe précédent se réduit

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APPLICATIONS DBS THÉORÈMES DE GAUGUT. l85

ici à

Les direcUoDS singulières appelées plus hautcpo, pour lesquelles

il n'y a pas la limite F, sont ici et H — > mais nous sommes

dans les conditions où la formule (12) n'en sera pas moins applicable, comme il résulte de la remarque faite à la lin du paragraphe 9.

Nous avons donc la formule

(a) - i cf{x) = 2 -J jxj £'e^^-P/( IX) dy. {X > Xo),

la sommation dans le second membre étant étendue aux racines X de l'équation «().) = o.

Si la fonctiop /(^) n'était pas continue pour la valeur considérée de :r, mais éprouvait, en passant par cette valeur, un saut brusque fini, il y aurait simplement à remplacer dans la conclusion précédente — {cf{x) par

— -c/(a7— Ti),

/"(x — T|) désignant la limite des valeurs que prend la fonction quand Invariable tend vers x en lui étant inférieure; c'est d'ailleurs la notation dont nous nous sommes servi jadis dans la théorie des séries Irigonométriques.

11. La formule précédente ne conduit pas à un développement simple, les termes étant des fonctions compliquées de x. Nous allons établir une seconde formule, qui, jointe à la précédente, nous donnera un développement remarquahle.

Dans la formule du paragraphe 10, posons

et soit Nous supposons que ^y^ tend, en général, vers une limite C,

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l86 CBAPITIIB VI.

z augmentant toujours indéfiniment dans les mêmes conditions. De plus, nous admettons que

tend, en général, vers zéro. Ces deux hypothèses sont parallèles à celles que nous avons faites au paragraphe 10. On établira encore, par des raisonnements entièrement analogues à ceux qui ont été employés [)lus haut, que

reste fini et que

tend vers/(j?), et l'on arrive alors à la formule

qui présente la plus grande analogie avec la formule (a).

Dans le cas où x serait un point de discontinuité, on aurait à

remplacer — f{x) par

12. Des formules (a) et (jî) nous allons déduire un nouveau développement. Supposons que

on aura nécessairement alors en cfTel