APPLICATIONS D£S THÉORÈMES DE CAUGHY

Nous arrivons ainsi à la formule (y) qui devient ici

sous la condition que

Xi — a < ar < aro -h «.

Prenons, en particulier,

^^0 = 0, cpi ^ a.

Nous aurons, pour ar compris entre o et a,

En réunissant les termes correspondant à des valeurs de A* égales et de signes contraires, on obtient le développement

c est-à-dire le développement en série de Fourier.

Dans le cas où, pour la valeur considérée de 2?, la fonction /(j?) serait discontinue, il suffit de se reporter aux deux développements d'où nous avons tiré la formule précédente pour voir que /(x) devra être remplacé par

Remarquons encore que la série de Fourier est démontrée, par la méthode précédente, pour toute valeur de x comprise entre o et «, mais à rexclusion de ces valeurs. On peut trouver facilement la valeur de la série pour ^ = o et a: = a. Considérons la série (16) comme définissant une fonction àe x\ ce sera donc, si Ton veut, notre fonction primitive f{x)^ prolongée en dehors de l'intervalle (o, a) d'une manière périodique. Appelons o{x) la fonction représentée par la série : c'est une fonction ajant a pour

GoogI(

igo CHAPITRE VI.

période. Pour x =: o et x = a^ elle n'a pour nous aucun sens ; mais, d'après la définition même de ^ , on a

Ceci posé, développons ^{x) en série de Fourier, dans Tintervalle ( , -h — j; on aura

(17) 9(x) ^ — I <?(hi) û^l^t-*- 7. - / cos 'ix ^ ii)o{iK)diL.

Mais la fonction (p, dans l'intervalle de à o, est égale à la fonction / dans l'intervalle de - à «; il en résulte que le développement (17) est identique, terme à terme, au développement (16). Donc la série (16), pour ^ = 0, aura la même valeur que la série (17); or la valeur de cette dernière série est égale à

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la valeur de la série (16) pour a: = o et pour x =^ a est donc donnée par la demi-somme précédente.