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APPLICATIONS DBS THÉORÈMES DK GAUGDY. IQI
D'autre pari
qui lend vers zéro, si x <[ a?© -f~ 2«.
On vérifiera de même que les conditions requises sont remplies pour la fonction y^(^). On a
la limite sera zéro si
ûCi — ar— 2a<o ou a: > ar, — 2 a.
Ceci posé, nous avons à étudier Péquation 7^(5) = o. Il est d'abord manifeste que celle équation ne peut avoir des racines réelles, sauf ^ = o, car
sont de mêmes signes quant z est réel, et d*aulre part h est po> silif.
Je dis que toutes les racines de Téquation sont de la forme z = a/, X étant réel.
Pour le voir posons, dans celle équation, a z=zx -hîy^ En séparant les parties réelles el les parties imaginaires on oblient les deux équations
ka:(e'- e-^) ^ (e'+ e-') (i - -^^) = o ( V^'^i^V'
\ tangj/ ;
Pour X 7^0, les rapports Ax ^ ^> kx-^ — - sonl positifs :
par suite A-y tangy et "^ seraient de signes contraires, ce qui
est impossible. Il faut donc faire x=^o\ la première équation est alors satisfaite quel que soit j^, el la seconde se réduit à Téqualion
ky -h langy = o.
Il est d'ailleurs très aisé de montrer que cette équation a une infinité de racines réelles. Il suffit pour cela de construire les deux
courbes
a7 = tang^, a; = '-Ay,
el l'on voit de suite qu'elles ont une infinité de points de rencontre. En définitive, l'équation tz{z) = o a une infinité de racines de la forme z = "ki, A étant réel; en faisant cette substitution, l'équation devient
(18) X cos(aX)-4- /j sin(aX) = o.
On a
>/^ '\ r/ /\ "i "i • -ï 1 sinîîaX — ia\ it (A«) = 2[(c-+- a/i)cosaA — AasinaA] = : ^^ ,
d'où, par suite, le développement
la sommation étant étendue aux racines de l'équation (18).
En groupant les valeurs de X égales et de signe contraire, il vient
la sommation s'étendant seulement aux valeurs positives de X. Si, en particulier, on prend Xq^= — a, 57| = -!-«, on aura le développement d'une fonction y*(x) définie entre — a et -H a.
15. Il ne sera pas sans intérêt d'indiquer dans quel problème Fourier a rencontré pour la première fois le développement précédent, mais sans traiter rigoureusement de sa convergence, comme permet de le faire la méthode de Cauchy. Partons de ce résultat fondamental, dû à l'illustre auteur, que, dans un corps isotrope, l'équation à laquelle satisfait la température Y d'un point est
k étant une constante. Supposons que l'on ait un solide terminé par une surface S; on donne l'état calorifique initial du solide
APPLICATIONS DKS THÉORÈUES DE CAUGHY. IqS
pour ^ = o, c'est-à-dire la valeur de la fonction V(j:, ^, z, t) pour ^ = o. De plus, nous avons une condition à la surface, eu écrivant que la loi de la déperdition à la surface est la loi de Newton ; si Ton suppose que le milieu ambiant soit à la température zéro, cette condition, qui doit être vérifiée pour toute valeur de /, peut s'écrire
^^h\=o (/i>o), an
-T- désignant la dérivée de V dans le sens de la normale extérieure
à la surface S (*). Prenons maintenant le cas particulier d'une sphère de rayon R, ayant son centre à l'origine, et supposons que la température soit fonction seulement de t et de r
L'équation (19) se réduit alors à
àV , /â^\ 2 dV\
et la condition à la surface devient
(21) H-AV = o (pourr=R),
et cela quel que soit t. Nous avons, d'autre part, pour ^=0, lii donnée
relative à l'état initial; F(r) est une fonction arbitrairement donnée de r = o à r = R.
L'équation (ao) se simplifie immédiatement, si l'on pose
on a alors, pour j^^ l'équation
dt ' dr* '
(*) Voir FouRiBR, Théorie analytique de la chaleur (Œuvres de Fourier, publiées par les soins de M. G. Darboux).
P. - II. i3
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Fourier commence par chercher ce qu'il appelle une solution simple de celle équation. En posant
u étant une fonction de r, Téqualion devient
ma = A- -7-r- •
En posant alors m = — Avi-, n étant une constante arbitraire, on obtient la solution
y = c-*"*'(A cosn/* -+- B sin/ir) et, par suite,
g -Art»/
V= (A ros/i/--4- B sin nr).
Comme nous voulons avoir une solution restant finie à Tintérieur de la sphère, nous devons prendre seulement la solution
La constante n jusqu'ici est arbitraire; mais, si nous voulons que celte solution particulière satisfasse à Téquation à la surface, nous
aurons
nr cos/ir -4- (Ar — i)sin/i/* = o, pour /• = R,
(23) tang/iR-^ hi\-}. "^ ^'
Nous allons supposer, pour ne pas avoir à sortir du cas examiné plus haut, que hl\ — i est positif; nK satisfait à une équation transcendante de la nature de celle que nous avons étudiée. Soient /II, /i2j ••• l<îs valeurs de n en nombre infini satisfaisant à cette condition, la série
A i-t/Sin/iir . , ,,sinn«r r r
si elle est convergente, satisfera à Téquation (20) et a la condition limite (21). On voit quel problème fort intéressant se pose alors : peut-on déterminer les coej/îcients A, de façon que la série
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APPL1CATI07«S DES THÉORÈMES DE CAUCHY. I qS
converge et représente ¥{r)poiir t = o, c'est-à-dire soit telle que <a4) rF(/*) = Aisin/iiTH- Aîsin/iir-+-. . ..
Il s'agit donc du développement d'une fonction définie entre o et R en une série procédant suivant des sinus dont les argument sont de la forme nx, les x étant racines d'une équation transcendante. Or, si nous considérons une fonction o(/') définie de — R à 4- R, égale à rF(r) de o à R et prenant de o à — R des valeurs égales et de signes contraires, on peut développer o(/'), en série de la forme (paragraphe précédent)
la sommation étant étendue aux racines positives de Téqualion
tangRX -h — = o,
équation qui coïncidera avec (a3) si Ton pose 77 = . ^ «
D'ailleurs, d'après la définition même de ©(/•), le développement de cette fonction ne renfermera que des termes en sinus, les termes en cosinus ayant des coefficients nuls. Nous obtiendrons donc ainsi le développement (24) dont nous avons besoin, et la solution du problème est donnée par la formule
V(r, 0 = Al L e-X/iî/^ A, i-e-*«2 -4-. . . ,
les n étant les racines positives de l'équation (23).
III. — Nombre des racines d'une équation contenues dans un contour. Théorie des indices.
16. Nous ferons encore une application du théorème des résidus en recherchant le nombre des racines d'une équation
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contenues dans un contour C, à l'intérieur duquel f{z) est une fonction holomorphe.
Considérons, en effet, Tiotégrale
Je A')
Les pôles de la fonction
sont les racines de la fonction f{z). Or, si a désigne une racine d'ordre m, on aura
le résidu correspondant est donc égal à m. Par suite, en désignant par N le nombre des racines de l'équation contenues dans C, comptées avec leur degré de multiplicité, il vient
17. On peut donner une autre forme au résultat précédent^ rintégrale précédente est égale à la variation de
log/(^),
quand z décrit le contour. Or
logy(«) = Log[mod/(«)] H- targ/(^),
et Log[mod/(z)], qui est un logarithme arithmétique, reprend la même valeur quand z revient au point de départ. La variation de log/(5) est donc égale à la variation de son argument multiplié par i. La variation de arg/(5) sera de la forme
n étant un entier, et Ton aura
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