APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CALCHY
18. Prenons, comme application, le cas d'un poljnome/(5) de degré m, 11 résulte de ce que nous avons vu (Chap. V, § 15) que, à Pextérieur d'un cercle d'un rajon suffisamment grand, on a le développement
fJdl - ^ ^ ^ o-
nz) - z-^ z^ ^••-
celle série étant ordonnée suivant les puissances croissantes de ^ •
11 est clair d'ailleurs que Ai = m, comme on le voit en multipliant par z les deux membres de celle identité et faisant ;; = oo.
Le calcul de l'intégrale
le long d'un cercle G de très grand rajon, est maintenant immédial; on aura
Je. J{^) Je -
^c puisque
dz
r dz Je ZP
fc ZP ^^ ^
On en conclut donc
c'est-à-dire k\\i un poly nome de degré ma m racines.
19. Considérons particulièrement, avec Caucliy, le cas où le contour G, à l'intérieur duquel on veut calculer le nombre des racines de l'équation
f{z) étant un polynôme, serait formé de segments de courbes unicursales. On peut alors, par un calcul régulier, trouver le nombre des racines, et Gauchy a donné à ce sujet des développements extrèmemenl intéressants. Soit le segment F de courbe unicursale obtenu en faisant varier le paramètre /, dont dépendent rationnellement X et ^, depuis t=^a jusqu'à t^^b{a<ib)\ on a, pour cet arc,
'-> i/M-'V'^-'^<-^sjm
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igS CHAPITRE VI.
en posant
P el Q étant deux pol^^nomes en t faciles à former.
L'intégrale qui figure dans le second membre doit être calculée; c'est elle qui nous intéresse.
L'intégrale indéfinie est
arc tangF(/).
On peut partir d'une détermination quelconque de cet arc lang pour ^ = a, et il faut suivre d'une manière continue (voir t. I, j). 9) la détermination choisie depuis la valeur initiale t = a jusqu'à la valeur finale t=b.
On remarquera d'abord que l'intégrale
' ¥'{t)dt
a un sens déterminé même quand F(/) devient infinie. Supposons en effet P et Q premiers entre eux; l'intégrale pouvant s'écrire
'PQ'-P'^rf,
sera finie pour toute racine t du polynôme P.
Ceci posé, en désignant par arc langF(a) l'arc ayant F(a) pour tangente el compris entre ^ et -+- -. on aura, sans ambiguïté,
i T^l^H^t) ^ ^^^ ^»nS^(0 — arc tangF(a),
tant que ^ en variant d'une manière continue ne passe pas par une valeur rendant F infinie. Dans cette formule, arc langF(/) représente toujours l'arc compris entre — -^ et H — • Mais supposons
que t en croissant d'une manière continue passe par une valeur /< rendant infinie la fonction rationnelle F. Si F(t) passe de -h 00 à
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