APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE GAL'CHY. I

— 00, on pourra écrire pour t un peu supérieur à t^

^^^li^t) ^ ^^^ 'angF(0 — arc langF(a) H- ir,

arctangF(^) élant toujours l'arc compris entre — ■;- et H- -• En effet, une fois que t a dépassé tt , c'est

arc tangF(;) -h ir

que l'on doit prendre pour suivre l'arc choisi d'une manière continue. Si, au contraire, la fonction F(f) avait passé de — ooà+cO) on aurait eu, après t^= ti,

^^p,.^. = arc tangF( O — arc tangF(a) - t„

Lorsque t varie de a à 6, on aura donc

/•* Y'(t)dt ^, ' „,,,

les arc tang étant toujours compris entre — - et -j- - el /i désignant l'excès du nombre de fois pour lesquelles F(^) a passé de -i-oo à — 00 sur celui pour lesquelles cette fonction a passé de

— 00 à -i- 00 quand t varie de a à 6. Cauchy a appelé ce nombre indice de la fonction entre a et b; nous poserons

20. Montrons maintenant, en suivant toujours Cauchy, comment on peut trouver, par un calcul régulier, Tindice d'une fraction rationnelle entre deux limites a et b.

Une première remarque sera très utile dans cette recherche; elle a pour objet de chercher une relation avec

I5[F(0] et lii(F^):

on a

/ 75^^i^ = ai-ctangF(a)-arctangF(6) + .rIâ[F(0], .

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200 CHAPITRE YI.

et, en changeanl F(/) en pw~ >

/•* ¥'(t)dt I I r/ r » 1

par suite, en addilionnant, o = arc tang F(a) + arc tang ^ — -

- arc tangF(6) - arc ^^^Sy^^ + ^ j Iâ[ F(0] "^ 'S [p^J ( • II en résulte que, si l'^(a) et F(6) sont de même signe,

Si F(a)>o, F(6)<o, on aura

l2(F)+Jâ(l)=-i.

Si F(a) < o, F(6) > o, on a, au contraire,

Ii(F)-f-I2(p)=-+-i.

Tout ceci résulte immédiatement de ce que

arc tangâ7 4- arc tang - = d: - i X 2

suivant que x est positif ou négatif.

Nous posons donc

et Ton a

e=o pour F(a) F(ft) > o,

Faisons encore la remarque évidente que deux fonctions rationnelles, dont la diJOTérence est un poljnome, ont même indice,

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et que deux fonctions égales et de signes contraires ont des indices égBWTL et de signes contraires. Cela posé, soit

V et Vj étant deux polvnomes premiers entre eux, on peut supposer que le degré de V est supérieur au degré de V|. Effectuons sur V et V| les opérations que Ton fait sur le polynôme et sa dérivée dans l'application du théorème de Sturm; soit donc

0*aulre part,

on aura, en supprimant les indices a et b,

■Cvi)-(;:)=".

les e étant égaux à o, -f-i? — i et étant déterminés d'après la r^g]e indiquée plus haut.

Ko additionnant ces égalités et tenant compte des précédentes, il vient

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202 CHAPITRE YI.

Le calcul de r indice de la fraction r^ peut donc être complètement effectué par de simples opérations algébriques.

Nous pouvons trouver facilement, d'après ce qui précède, le nombre des racines de l'équation algébrique

dans un contour formé de segments de courbes unicursales; il suffira de calculer Tindice d'une fonction rationnelle convenable pour chacun de ces segments. D'après la formule

et en se reportant à la formule (20), on voit que le nombre cherché sera égal à la demi-somme de ces indices.

On peut, dans beaucoup d'autres cas, trouver par un calcul régulier le nombre des racines de l'équation y( >3) = o, contenues dans un contour : c'est un sujet sur lequel nous reviendrons au Chapitre suivant.

21. Nous allons terminer ce Chapitre en démontrant le théorème fondamental relatif à la continuité des racines d'une équation algébrique. Cauchy énonce ce théorème de la manière suivante. Soit

une équation algébrique avec les deux variables x et y. Si, pour a: = Oj l'équation

a p racines nulles, l'équation (26) aura, pour x voisin de zéro, p racines et p seulement voisines de zéro ,

La démonstration précisera complètement ce qui reste d'un peu vague dans cet énoncé. Écrivons le polynôme /{x^y) sous la forme

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APPLICATIONS D£S THÉORÈMES DE CAUCUY. ' 2o3

les A sont des polynômes en x^ et l'on a (^7) Ao= Ai = .. .= Ay,i = o pour ar = o,

tandis que Kp ne s'annule pas pour x = o. On peut écrire

en posant

y" Ay,

Décrivons autour de j; = o, y=o comme centres, dans les plans respectifs des variables x eiy, deux circonférences C et F de rayons r et p. On peut prendre /• et p suffisamment petits pour que les deux conditions suivantes soient vérifiées.

On veut d'abord que, les points a? et j^ étant quelconques à l'intérieur des deux cercles précédents, on ait

En second lieu, on veut que, y étant sur la circonférence F, et X quelconque à l'intérieur du cercle C, on ait

Pour la première condition, aucune explication n'est nécessaire. Pour la seconde, 11 sufïït de remarquer que

ivi<^

et, d'après les équations (a^), si r est assez petit, il est clair que lV|<i.

Ceci posé, nous pouvons aisément trouver le nombre des racines de l'équation en^

contenues dans le cercle F, x étant un point quelconque à l'intérieur de C. Le nombre de ces racines est en effet égal au quotient

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