I. — Les intégrales de Kronecker

i. Nous nous sommes déjà occupé (t. I, p. i36) du nombre des racines communes à plusieurs équations. Dans celle élude, nous avons posé, a priori, une certaine intégrale, considérée par Kronecker. Il est intéressant de montrer comment Tilluslre géomètre y a été conduit, c^esl par quoi nous allons commencer.

En posant

celle intégrale triple étant étendue à un certain volume, limité par une surface 2, dans Tespace (a, b, c), on a vu que ce potentiel V, qui est une fonclion de Ç, r, et s? satisfait à la relation (t. I, Chap. VII)

suivanl que le point (Ç, 7|, Q est extérieur ou intérieur aux masses attirantes.

Considérons mainlenanl trois fonctions continues /*, ^, ^, et posons

?/ if il

dx dy dz

àx dy dz

dx dy dz

Nous formons Tîntégrale triple

étendue au volume Hmité par une surface S. La fonction V est une fonction de (Ç, t^, Ç)» que nous allons étudier au voisinage de

Si dans S (et sur S) il n'y a pas de valeurs pour lesquelles f= o, o = o, 'i = o, on aura

AV(o) = o,

en entendant par AV(o) la valeur de AV =: -^ -+• -j-^ H- -r^ pour

(Ç = 7i = C = o). Ceci est évident, puisque l'élément de l'intégrale reste fini et satisfait d'ailleurs à l'équation de Laplace.

Supposons maintenant qu'il y ait dans S des points pour lesquels

ces racines étant d'ailleurs simples, c'est-à-dire que D y est différent de zéro. Isolons ces points au moyen de petites surfaces fermées S. La part de l'intégrale (2) provenant des éléments extérieurs aux surfaces S sera nulle, pour les raisons dites plus haut. Pour évaluer la part provenant d'un volume limité par une surface S, faisons le cbangement de variable

c =ii^{x,y,z).

Le signe de D est invariable à l'intérieur de S et, de plus, on

peut supposer la surface S assez petite pour que, des équations

précédentes, on puisse tirer sans ambiguïté x, y, z en fonction

bien déterminée de a, b, c autour de a = o, 6 = o, c = o. Par ce

changement de variable, l'intégrale (2) devient l'intégrale (i) si

D>o, et cette intégrale changée de signe si D est négatif. On

aura donc

AV(o)=ip4Tï, suivant que D^o.

En général, on aura

AV(o) = — 47cZs,

GoogI(

noubre de racines communes a plusieurs équations. 207

la somme S s'étendanl aux racines communes à y, cp et ^{^ situées à l'intérieur de S. On a s = 1 pour une racine où D > o, et s = — i pour une racine où D <; o. On peut encore écrire

aV(o) =— 4"^/^,

m étant la différence entre le nombre des racines pour lesquelles D est positif et le nombre des racines pour lesquelles D est négatif,

2. Nous allons maintenant montrer que AV(o) peut s'exprimer par une intégrale double étendue à la surface S.

Le volume limité par S peut se partager en régions-où D a le même signe; on isolera seulement des volumes très petits contenant les points de la surface D = o. De plus, chacune des régions, où D a un même signe, peut se fractionner en régions plus petites où le changement de variables

se fera d'une manière uniforme de l'espace (a, 6, c) à l'espace

Soit une telle région E où D soit positif. Le changement de variable fait correspondre à E une région F de l'espace (a, 6, c), et l'on a

r r r da db de

l'intégrale étant étendue à E, pour la part de V relative à E. On a (t. I, p. i83)

a cos a H- 6 cos p H- c cos y , - ai

(a, 3, Y correspondant à la normale intérieure).

Que va devenir cette intégrale de surface dans l'espace (x, y, z)?

Concevons x, y, z et, par suite, a, 6, c comme des fonctions sur les surfaces limitant E et F de deux paramètres u et if. On a,

GoogI(

208 GHAPITRB VU.

pour la surface limitant F,

. i)(b,c) , , cos ada = ^^ ' du dv,

cos

3 a<T = r>:-^—{ du dvy

, D(ayb), , cos Y rf(j = -7 f du dv.

Or, on a aisément

'D(u,i^) 'D(a:,j^) D(a,i;) Dc^', ^) D(a, i;) D{z,x) l>{u,9)'

D^ailleurs, pour la surface limitant E dans Tespace {x^y^ z)^ on aura, pour une direction convenable de la normale,

^^^^dudsf = co^>id^\

^^J^dudi^^co^ldri',

VTT du dv = cos u rfff ,

D{UyV) '

rfy désignant l'élément de surface, et X, [jl, v correspondant à la normale. A quelle direction sur la normale correspondent cosX, cos[x, cosv. La direction (a, P, y) correspondait à l'intérieur de F. Or, on peut réduire /, o, ^ à leurs termes du premier degré, et, par déformation continue, à

a = x, b =z y^ c=::z (puisque D >o).

Donc la direction (X, [jl, v) correspond à l'intérieur de E.

Si D < o, ce serait le contraire, mais alors le signe de V serait changé dans la transformation de (2) en (1); il y a donc compensation.

En résumé, on a, dans tous les cas, pour la part de AV(o) correspondant à E,

(A cosX -+- B cosfx -+- C cosv) c?<j', en posant

A ryD(y.'î') , D(4'./) ,xD(/.?)1

GoogI(