NOMBRE DE RACINES COMMUNES A PLUSIEURS ÉQUATION
dp __ dp dx dp dy dp dz da ~ dx da dy da dz du
et de méine pour 37- et -—•
Eu (lifTérentiant les relations relatives au changement de variable
on trouve facilement, par la résolution d'équations du premier degré,
dx __ l>{y,z) da~ D
et des expressions analogues pour j- et -- On obtient alors
en posant
dp dp dp
dx dy Oz
f àl dl dl
" dx dy dz
d'j^ <^cp ()cp
^ dx dy dz
dx dy dz
et l'intégrale triple (3) devient alors, dans l'espace (-f, J', ^),
P dx dy dz
fff
(/*-Ho«-hi^«)«
Finalement, on a la formule
[ ffp(Xdydz-^Bdzdx^Cdxdy)^rff ^^^^^^^^
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Telle est la formule généralisant celle que nous avons obtenue à la fin du paragraphe précédent, et qui coïncide avec elle pour 0 = constante. L^inlégrrale double est étendue à la surface inté- Heure S et l'intégrale triple au volume limité par S.
4. J^ai montré (t. I, p. i4o) comment on pouvait, de la première formule de Kronecker, tirer une formule donnant le nombre des racines communes à deux équations
contenues dans un contour, en reproduisant ^analyse de mon Mémoire du Journal de Mathématiques (1892) sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées : je passais par Tintermédiaire d'un espace à trois dimensions. Guidé par la forme du résultat que j'avais trouvé, M. Walther Djck a montré très élégamment (Comptes rendus, décembre 1894) comment, sans passer par un espace à trois dimensions, mais en se servant de la seconde formule de Kronecker (pour le cas d'un plan), on pouvait parvenir aux formules que j'avais données.
Écrivons d'abord la formule analogue à (4)) mais relative au plan. Une analyse toute semblable donne
/et © étant deux fonctions de x et j^, ainsi que p. On a posé
dx
D(x, y) est le déterminant fonctionnel /- t^ — -/^ -^ et l'on dé-
^ ' •^ ' f)x ôy Oy ox
signe par {xi^ yi) les racines communes aux équations (6) /=o, (p = o
contenues dans le contour C. On a enfin posé
dy ày
dx
àx
J An/» *i*c
dx
KOSBRE DE RACINES COMMUNES A PLUSIEURS ÉQUATIONS. 2l3
rinlcgrale curviligne qui figure dans le second membre est prise dans le sens positif.
Ceci dit, cherchons une fonction ?(^,JK) quî soit égale à + i aux points (xj, yi) où D est positif, et égale à — i aux points (^i, yi) où D est négatif. On peut prendre
De
en désignant par e une constante positive, et le radical étant pris avec le signe plus.
En substituant cette valeur de p dans la formule (5), on trouve la valeur que nous avons donnée (t. I, p. ijs) pour le nombre des racines des équations (6) contenues dans C.
Toutes ces considérations sont susceptibles de s^appliquer à un nombre quelconque dV^quations^ mais nous renverrons pour cet objet à mon Mémoire déjà cité et à l'article de M. W. Dyck.
o. Faisons quelques remarques sur le résultat trouvé à la page 142 du Tome 1, où l'on est prié de se reporter pour les notations. La formule que j'ai donnée, pour exprimer le nombre des racines communes à deux équations, dépend en apparence du nombre t : les deux cas limites e = o et £ = 00 appellent nécessairement l'attention.
Faisons tendre d'abord e vers zéro, l'intégrale (a) tendra vers zéro. Quant à l'intégrale (p), elle se présente sous une forme indéterminée qui rappelle entièrement ce que nous avons trouvé pour le cas d'une seule équation (n^ 3); nous pouvons dire que le nombre cherché est la limite de l'expression
quand t tend vers zéro. Il est clair que pour e = o tous les éléments de l'intégrale sont nuls, sauf celui qui correspond à une racine commune aux deux équations y= o, o =: o, et c'est de là que provient la forme indéterminée. Nous chercherons tout à rheiire comment on pourrait calculer cette limite pour quelques contours particuliers et en supposant que / et ^ soient des polynômes.
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2l4 CHAPITRE VII.
Faisons mainlenant augmenter indéfiniment t dans les intégrales (a) et (P). On voit immédiatement que la première tend vers
[D] désignant la valeur absolue de D.
Cette intégrale est à rapprocher de l'intégrale
faisant connaître la différence entre le nombre des racines contenues dans C, pour lesquelles le déterminant fonctionnel D est positif, et celles pour lesquelles il est négatif. Les éléments de ces deux intégrales ne peuvent que différer par le signe sur certaines parties du contour.
Quant à rinlégrale (j3), elle se réduit, en posant e = --^» à
r R dT dv
[D«-^r,(/»-i-oî)]*
dont on doit chercher la limite pour r^ = o. Il y aura ici, pour 7^=0, une suite d'éléments indéterminés correspondant aux valeurs de X et y^ pour lesquelles
Si D ne s'annule pas à l'intérieur de C, celte limite est nulle et Ton n'a qu'à prendre l'intégrale curviligne, ce qui est d'accord avec le résultat trouvé précédemment. Remarquons en terminant que tous les résultats précédents peuvent être étendus à des systèmes de n fonctions de n variables indépendantes, mais je ne crois pas utile d'insister sur ces extensions qui n'exigent aucun prii)cipe nouveau (*).
(*) On pourra consulter sur ces questions un intéressant travail de M. C. Marenghi dans les Comptes rendus de l'Institut Lombard (1901). Je citerai encore deux Notes de MM. Davidoglou et Tzilzéica {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, décembre 1901), où ces auteurs envisagent le cas des racines multiples.
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