NOMBRE BB RACINES COMMUNES A PLUSIEURS ÉQUATIONS

II. — Nombres des racines communes à deux équations pour quelques contours particuliers.

6. Appliquons les considérations précédenles au cas où le contour considéré se réduit à un carré dont les côtés peuvent être supposés parallèles aux axes et où les deux fonctions f{x^y) et ?(^7 J^) sont des poljnonies. On peut, dans ce cas, écrire les deux ëqnatîons simuhanées

sous la forme

V — F(ir)=o,

y(jr) et ^{x) représentant deux polynômes (puisqu'on suppose qu'il n'y a que des racines simples). Le polynôme / (a:) n'aura aussi que des racines simples.

Il s^agît de trouver le nombre des racines (^, j'), communes à ces deux équations, pour lesquelles

On suppose qu'aucune des racines des deux équations ne se trouve sur une .des droites limites.

Le déterminant fonctionnel D se réduit ici à /'(^), et l'on a

Nous devons donc considérer l'intéorrale

-ff

t(f^-ff')dxdy

étendue à l'aire du rectangle, et faire tendre e vers zéro.

En eOectuant l'intégration par rapport à j>^, cette intégrale devient

t(d-F)(/'t~/r)dx

t(c-F)(/'*-.//')dx ]

(/»-!-eV'»)[(c- F)» +/«+ î'/']* j

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2l6 CHAPITRE YII.

Quand e tend vers zéro, les seuls élémenls de l'intégrale

^p^^ifi)[id-vy-^P+t\n]i

ne tendant pas vers zéro, sont ceux qui correspondent aux valeurs de X racines de f{x). Au lieu de l'intégrale précédente,

nous pouvons donc nous borner à la suivante [en développant — par la formule de Taylor |

ce qui nous conduit, pour s = o, à

1* désignant l'indice entre a et b, au sens de Caiicliy, de la fonc-

lion rationnelle ^ , • ; et l'on aura, par conséquent, pour le

nombre des racines,

7. Ce résultat est facile à vérifier directement. Quand x, en croissant, passe par une racine de /(^), le quotient

passe de 4-oo à — oo si c — F est négalif, c'est à-dire si le point (^7^) ^st au-dessus delà droite j^ = c. De même, ce quotient passera de — oo à -foo si le point correspondant {x^y) est audessOus de la droite y=^c. Eu désignant donc par n et n! le nombre des racines de nos deux équations (comprises entre les droites x = a, :r = i), situées respectivement au-dessus et audessous de la droite yz=c^ on a

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NOXBRE DE RACINKS COMMUNES A PLUSIEURS ÉQUATIONS. 2iy

liii remplaçant c parrf et désignant par N etN' les nombres correspondants, on a de même

Or sî nous désignons par v le nombre des racines comprises clans le rectangle, on a

donc

Par conséquent

i/esl le résultat que nous voulions vérifier (*).

8. D'une manière plus générale on peut indiquer une marche régulîcre de calcul pour trouver la limite de l'intégrale

quand le contour est forme de segments de courbes unicursales • Cette intégrale double est, en effet, égale à l'intégrale curviligne

prise dans le sens positif le long du contour C.

Partageons cette intégrale en différentes parties correspondant aux différents segments de courbes unicursalesqui, par hypothèse, forment le contour C. Soit Tun d'eux correspondant aux valeurs ^o et /| du paramètre t dont sont fonctions rationnelles x et y. La valeur correspondante de l'intégrale sera, pour e = o, en raison-

( ■ ) Le cas du rectangle avait été déjà Iraité, sous une autre forme, par M. Hermite dans une Communication faite à l'Académie [Remarques sur le théorème de Ai. Slurm ( Comptes rendus, t. XXWf , p. 29) )].

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2l8 CHAPITRE Vil.

nant comme au numéro précédent,

Le quotient (r-JV ^^^^ .j^g fonction rationnelle de t, et roii

n^aura qu'à en prendre l'indice de ^o ^ ^i- En additionnant tous les résultats ainsi obtenus, on aura le nombre cherché.

9. Il y a beaucoup d'autres cas où l'on peut facilement trouver le nombre des racines communes à deux équations

(f et cp étant deux polynômes) contenues dans un contour convonable C. Comme au § 6, nous écrivons toujours ces deux équations sous la forme

f et F étant deux polynômes.

Supposons que le contour G soit défini par la relation algébrique

X étant un polynôme, et que les poinls à l'intérieur du contour coiTcspondent à

Nous avons donc à chercher le nombre des racines communes aux équations (5) pour lesquelles l'inégalité précédente est vérifiée, ce qui revient à chercher le nombre des racines x de l'équation

/(x) = o, pour lesquelles

en désignant par R(^) le polynôme À[j:, F(x)]. Or cette question n'est visiblement qu'un cas particulier de celui qui a été traité au §7.

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NOMBRE DE RACINES COXMrxNRS A PLUSIEURS ÉQUATIONS. 219

On prendra Tindice entre — oo à -+- oo de la fraction rationnelle

En désignant, respectivement, parn et n' le nombre des racines de y = o, pour lesquelles R(x) est négatif ou positif, on a

On connaît d'antre part, au moyen du théorème de Sturm, la somme n -\- n' qui peut d'ailleurs s'écrire

On aura par suite le nombre cherché n.

10. Ce résultat est bien facile à généraliser. Supposons que le contour G soit défini par deux inégalités

X et [X étant des polynômes.

Nous serons conduit à rechercher le nombre n des racines de Téqualion

pour lesquelles on a simultanément

R(ar)<o, R,(x)<o, .en posant

l{{x) = \{x,F), R,(:r) = fx(^,F).

Soit N le nombre des racines pour lesquelles R(ar)<o, Ri(a:)>o,

et N' le nombre des racines pour lesquelles

On pourra trouver la somme N-î-N', puisque ce nombre repré-