I. — Intégrales hjrperelliptiques

1. Nous avons déjà étudié (t. I, p. 4^) la réduclion algébrique <les ÏDlégrales byperelliptiques. Considérons parliculièrement les intégrales du type

/(x) étant un polynôme; soient [jl le degré du poljnome R(x) et ai, a2j -'.•, ci^ ses jx racines qui sont supposées toutes distinctes. Nous nous proposons d^tudier les déterminations diverses de i*in-

légrale (I)

f{x)dx

quand on va du point Xq au point x par différents chemins, la détermination initiale de )JK{x) pour x = o étant toujours la même.

2. Commençons par étudier les différents chemins allant du point Xq à un point x. Pour l'objet que nous avons en vue, deux chemins seront évidemment à considérer comme identiques si Ton peut les ramener Tun à l'autre par une déformation continue sans traverser aucun des points a. Or considérons {Jîg. ^4) |a courbes partant de x^ et y revenant en entourant, respectivement chacune, un des points a. La forme de ces courbes est indifférente; pour bien préciser, nous prenons pour chaque point a la courbe suivante : on joint x^ à un point très voisin de a, on décrit autour

de a un cercle très petit et l'on revient au point Xq par le même chemin qu'à l'aller. Un tel clieniin est dit un lacet.

Ceci posé, tout chemin allant de Xq à un point x se ramène évidemment à un chemin allant de Xq à Xq, suivi d'un chemin déter-

Fig. aî-

miné allant de Xq à x] il suflîl, en effet, d'ajouter au chemin considéré le chemin délenniné xx^^ que l'on fait suivre du chemin (le sens inverse XqX. 11 faut donc envisager les différents chemins partant de Xq et y revenant. Or je dis que tous ces ch'^niins retiennent aux différents lacets parcourus successivement et dans un ordre quelconque.

Pour le voir bien nettement, on suivra le chemin G jusqu'à la rencontre en a avec un lacet; on quittera alors G pour suivre le lacet jusqu^en x^, ce qui donne visiblement une somme de lacets ( les lacets a^ et ag); puis on rétrograde de Xq en a, et en a on reprend le chemin G jusqu'à ce que celui-ci rencontre un nouveau lacet, soit p ce point de rencontre. En ^ on quitte de nouveau G pour suivre de [li en Xq le lacet rencontré. Ou a mis en évidence de nouveau, par le chemin Xoafi^,,, une nouvelle somme de lacets (celle somme peut se réduire à zéro, comme il arrive dans le cas de la ligure). On rétrograde alors de x^ en p, et en ^ on reprend le chemin G et l'on continue ainsi jusqu'à ce que l'on ait parcouru tout le chemin. Le chemin G se présente alors de la manière la plus nette comme équivalant aune somme de lacets. Dans le cas de la figure, le chemin G est équivalent aux lacets ai, a^, a^ successivement parcourus.

3. La remarque fondamentale qui précède va nous permettre d'étudier sans peine les diverses valeurs de l'intégrale (i). Suppo-

sons d'abord que Ton considère seulement des cliemins partant de jTq cl y revenant. Les valeurs de l'intégrale le long des lacets vonl jouer le principal rôle : soit, par exemple, le lacet a,. La valeur de Tintégraie sur le lacet se compose de deux parties, Tune est relative à Taller et l'autre au retour; quant à l'intégrale sur le cercle infiniment petit, elle tend vers zéro avec le rayon de ce cercle. Il peut sembler au premier abord que les deux intégrales se détruisent puisque les dx à l'aller et au retour sont égaux et de signes contraires; mais y/R(a:), ayant tourné autour du point «i, n'a plus la même détermination au retour qu'à l'aller, et, par suite, les éléments s'ajoutent au lieu de se détruire. Soit A| la valeur de l'intégrale

""' fix)dx

quand on suit le cbemin tracé pour le lacet, et que l'on prend pour v^^(^o) une de ses déterminations que nous désignerons par^^; la valeur de l'intégrale correspondant au lacet tout entier sera, d'après ce que nous venons de dire, 2 A,. Soient de même

les valeurs de l'intégrale correspondant aux autres lacets, la détermination initiale de )Jï\{x), quand on parcourt chacun de ces lacets, étant toujours supposée égale à y^.

Tout cliemin, ayant Xq comme points de départ et d'arrivée, se ramenant à une somme de lacets, nous n'avons aucune difficulté à avoir maintenant la valeur de l'intégrale correspondante. Supposons que le chemin équivaille aux lacets

<i>.„ ax„ ..., a^ (^1» ^^*' •••' ^/^ = »» 2, ..., \L)

successivement parcourus; nous aurons comme valeur de l'intégrale

(2) !iAx^— 2Ax,4-2Ax, —

On remarquera que les signes plus et moins alternent dans cette somme ; c'est que, après avoir parcouru le premier lacet ax,, nous revenons en x^ avec la détermination — yQ du radical, et la valeur du second lacet est alors — 2Ax, au lieu de H-aA^, que nous

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324 CIIAPITBB VIII.

aurions trouvé si nous avions décrit le lacet a\^ avec la déterminalion initiale +j'o pour le radical. Pour le troisième lacet, au contraire, nous avons au début, après deux changements de stg^ne, retrouvé la détermination initiale^^ et par suite nous avons + 2 A>.. et ralternance des signes est, après ces explications, bien manifeste.

Deux cas sont à distinguer suivant que p est pair ou impair. Si p est pair, Texpression (2) pourra se mettre sous la forme

(3) 2m|ti)i-4-2miti)iH-...-i-2mj4 icojji t»

les m étant des entiers positifs ou négatifs, en posant

ci)i = A| — Aj, cot=Ai — A3, ..., b)j|,.|=:A| — Ajj..

On peut d^ailleurs choisir un chemin tel que Ton trouve pour valeur de l'intégrale l'expression (3) : il suffira de décrire m^ fois l'ensemble des lacets a\ et ^2, puis m2 fois l'ensemble des lacets a 1 et as, et ainsi de suite.

Si p est impair, en ajoutant à l'expression (2) — 2A|-h2A,, on la mettra sous la formç

(4) 2/7iia>i-i-. . .-4- 2mn iWn i-h 2A|.

Nous avons donc représenté par (3) et (4) toutes les déterminations possibles de V intégrale pour un chemin partant de Xq et y revenant. On donne aux quantités aco le nom de périodes de Vintégrale hyperelliptique.

Il est important de remarquer que ces périodes ne dépendent pas du choix du point x^. Ainsi, par exemple, la période

2A1 — 2At

n'est autre chose que Tintégrale prise le long d'un contour contenant à son intérieur les deux points a^ et a^^ contour que l'on peut déformer d'une manière continue sans changer la valeur du résultat de l'intégration.

4. Considérons maintenant un chemin particulier c allant de x^ en x\ soit I la valeur de l'intégrale pour ce chemin, la valeur initiale pour le radical étant toujours ^g. Comme nous l'avons déjà

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*INTÉtiRALBS DE FONCTIONS NON UNIFORMES. 2a5

dû, tout chemin L allant de Xq en x se ramène à un chemin C revenant à a:©, suivi du chemin c. Si G équivaut à un nombre pair de lacets, la valeur de l'intégrale sur L sera de la forme

Si C équivaut à un nombre impair de lacets, on aura 2/Wia>i-i-. . .-i- 2/n|x tï0{|.i-h 2 Al — î,

car, quand on reviendra en x^ après avoir décrit C, on aura pour le radical la détermination —^y^ et, par suite, le chemin c, qu'il reste à décrire, donnera — 1.

On peut dire que r intégrale (i) a, au point x, deux déterminations de types distincts

I cl 2 A . — r ;

les autres déterminations s'obtiennent en ajoutant à celles-ci des sommes de multiples des périodes a w..

La notion de la périodicité des intégrales, rapidement indiquée par Cauchy, a été particulièrement approfondie par Puiseux dans son Mémoire sur les fonctions algébriques (Journal de Mathématiques, i85o).

II. — Des intégrales de première espèce : réduction du nombre des périodes. Intégrale elliptique.

o. Parmi les intégrales de la forme

\f{x)dT

oik/^jc) est un polynôme, on désigne sous le nom A"* intégrales de première espèce celles qui restent finies quand x augmente indéfiniment. Ces intégrales restent donc finies pour toute valeur finie ou infinie de la variable [voir t. I, p. 54).

Quand le degré jji de R(x) est impair, soit [jl=:2/> + i, l'intégrale sera de première espèce si le degré de f{x) est au plus égal à p — I . Il y a /> intégrales de première espèce linéairement indépendantes*

Quand p. est pair et égal à 2/?, le degré de f{x) ne doit pas P. — II. i5

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226 CHAPITRB VIII.

dépasser p — 2 et il y a alors p — 1 intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Évaluons le nombre des périodes de l'intégrale. Pour [jl = 2^ -h i , il y aura ip périodes et Ton ne peut pas, du moins en général, faire subir de réduction à ce nombre.

Pour [JL= 2/>, nous trouvons, en appliquant la théorie du paragraphe précédent, un nombre de périodes égal à 2,p — i, mais une réduction immédiate se présente, qui va diminuer ce nombre d'une unité. Envisageons, en effet, l'ensemble des lacets autour du point Xq : l'intégrale prise le long de ces lacets sera nulle. En effet, le point à l'infini est un point ordinaire pour l'intégrale : l'intégrale prise le long des lacets a donc la même valeur que si elle est prise le long d'un cercle de très grand rayon et est, par conséquent, nulle. On a donc, les lacets se suivant dans l'ordre i , 2, . . ., [x.

Al — A j -t- A3 — ... — ApL = o, qui peut s'écrire sous la forme

(1)1 (iJj -h . . . -t- (0(4-1 = O.

On voit donc que l'une des périodes (0|a,, par exemple, est une combinaison linéaire à coefficients entiers de (0|, 0)2, . . ., <«>|a.2-

6. Faisons maintenant une remarque importante sur la réduction du nombre des périodes. Les périodes seront dites distinctes s'il n'existe entre elles aucune relation homogène et linéaire à coefficients entiers; il peut arriver qu'entre les périodes trouvées o> existe une ou plusieurs relations de cette nature.

Soient

les périodes que nous venons de trouver; on suppose que l'on ait les relations, en nombre X,

/WlWl-h msb>t + . . .-+- nin^n— o, ^iw, -4- yjcu, H-...-h ^«a>„ = o,

Ti a>i -h Tj (Dt H- ... H- r» (Drt = o,

les m, q^ r étant entiers. De plus ces relations peuvent être sup* posées algébriquement distinctes, c'est-à-dire que Ton peut en tirer

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et ces relations permettent d'exprimer les eu en fonction des û.

les valeurs de A des quantités (i> en fonction des autres. Ceci revient à partir de l'hypothèse que

les [X étant rationnels.

Toute période est de la forme

12 = M|(Oi-H MjWî-h.. .-H MnCt>n,

les M étant entiers, et, en remplaçant a>m+i, . .., co;, par leurs valeurs (5), on aura une expression homogène et linéaire en Wj, u>2, . . ., îOm à coefiicients rationnels. Aucun de ces coefficients ne peut s'approcher, quelque choix qu'on fasse des entiers M, autant que l'on veut de zéro sans devenir rigoureusement nul, puisque les [X sont rationnels. Ces coefficients ont donc, en dehors de zéro, un minimum pour leurs valeurs absolues.

La période Q étant écrite sons la forme

^1 O), H- /?, Wj -H . . . H- pm W/n,

et X désignant un des nombres i, 2, ..., m, considérons toutes les périodes Q pour lesquelles

oip^-^i si p<X, o = />p si p>X.

Il y a manifestement de telles périodes, puisqu'il suffit de prendre û = co^. Parmi toutes ces périodes qui, d'après la remarque faite, sont en nombre limité, il y en a une pour laquelle le coef(îcient/?x a la valeur minima. Désignons par /?'j^^, ..., p^^^ les valeurs des coefficients/? correspondants.

En faisant successivement ). = i, 2, . .., m nous aurons les périodes

i2,=/>îa>i,

i2j=:/>îw, -f-/?|tDî. J

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aa8 CHAPITRE VIII.

Toute période peut s'exprimer en fonction linéaire de û|, Û2, . . ., ûflt : nous allons montrer que les coefficients sont entiers. Soit

une période, les P étant rationnels.

On peut écrire Pm sous la forme

Vto étant un entier et P^^ étant positif et inférieur à /?^|. On pourra ensuite déterminer un entier V;,i, tel que

Pm-f étant positif et inférieur à /^^ij.

On continuera ainsi, et Ja dernière égalité sera

Pi = vi />} -+- v,/>î -h . . .-f- v,„K' -+• P'n

avec oS P'^ </>!i 'es v étant tous des entiers positifs ou négatifs. La période ù est alors de la forme

Or les m premiers termes étant des périodes, il en résulte que

(6) ?>,-+- p>,+...-f-p;„tu,„

est une période. Mais nous avons

o^P'i</>l. o<Pi</?|, ..., o<P',„</,;«.

Dans ces conditions, l'expression (6) ne peut être une période que si les P' sont tous nuls : cela résulte de Ja définition même des quantités/?], pl^ ..., />^J. En effet, si F,„ n'était pas nul, pour que l'expression (6) fût une période, il devrait être au moins égal ^ Pnif ^^ '' ^^^ inférieur à p^, donc P';,j=.o ; et de proche en proche on démontre pareillement que tous les P' sont nuls. On a donc finalement

(7) i2 = Vii2,-4-v,liî-T-...-hv,„û,,„

les vêtant des entiers. Remarquons encore qu'entre û,, û^» •••9 ^m

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il n'existera pas de relation homogène et linéaire à coefficients entiers, car on aurait dans ce cas une telle relation entre coi, <02, ..., (Om et nous n'aurions pas fait usage de toutes les relations entre les o).

Nous arrivons donc en résumé au théorème suivant (*) :

On peut déterminer m périodes distinctes û<, ûa, • • •» û^, dont toutes les autres sont des sommes de multiples, de telle sorte que toute période û est de la forme (7).