Revenons à l'intégrale de première espèce
R(^) étant, pour fixer les idées, de degré [jl = 2/?-|-i elf{x) étant alors de degré p — i . Nous avons trouvé ay? périodes pour cette intégrale. Nous démontrerons plus tard que, si le polynôme f{x) de degré p — 1 est pris arbitrairement, les ip périodes sont distinctes. Dans certains cas particuliers, les périodes distinctes peuvent être en nombre moindre, mais nous allons établir qu'tV doit y avoir au moins deux périodes distinctes.
Supposons, en effet, que l'intégrale u n'ait qu'une période co. Pour chaque point x^ cette intégrale aura les deux systèmes de va
leurs (§ 4)
a-hXu), 2 Al — a -i- fJL(j>,
X et p. étant deux entiers.
Si donc on considère la fonction de x
cette fonction sera uniforme : l'addition k u de multiples de co et la substitution i 2/ de 2 A| — u ne changent pas, en effet, la valeur
(*) Le mode de démonstration que nous venons de suivre a été employé par M. Weierstrass pour établir un théorème plus général; so'xt Monatsberichte, 1875 {Neuer Beweis eines Haupsatzes der Théorie der periodischen Functionen von mehreren Veràndlichen). On pourra aussi consulter, sur des questions analogues, un article de M. Kronecker dans les Sitzungsberichte der Berliner Akademie {i%S!i).
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a3o CHAPITRE VIII.
de cette expression. D'autre part, u reste finie pour toute valeur finie ou infinie de x) la fonction précédente est donc partout holomorphe même à Tinfini, elle se réduit donc à une constante d'après le théorème de Lîouville. Mais ce résultat est manifestement absurde; l'expression précédente est une fonction rationnelle de
tltin
qui ne peut être constante que si u est lui-même constant. // est donc impossible d'admettre que u n'ait qu'une période.
8. U est facile d'indiquer un exemple très simple d'intégrale de première espèce où une réduction se produit dans le nombre des périodes. Prenons pour R(a:) le polynôme du sixième degré pair
R(ar) = {x^~a\){x^—a\){x^— a\).
Les deux intégrales de première espèce
/dx r xdx
7TO ^^ j 7^)
se ramenant, en prenant x- pour variable, à des intégrales elliptiques, n'ont que deux périodes.
D'une manière générale, on peut ramener une intégrale où figure rationnellement la racine carrée d'un polynôme du sixième degré à une intégrale de même nature où le polynôme est du cinquième degré; soit par exemple le radical
^J{x — ax){x — at){x ^ a'i).,,{x — «ç ). En posant
a«-4-p L*^ Oj— a, (a, — a,)(a, — as)J
on a le radical portant sur un polynôme du cinquième degré
yJt{\ — t)K\ — at)\^\ — bi){\ — et ),
en écrivant
(a, — «4)(a,— aa)'
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17(TÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. a3l
or, SI le polynôme du sixième degré ne renferme que des puissances paires de la variable, on aura
et l'on voit que dans ce cas
c = ab,
• On est donc conduit à ce résultat indiqué autrefois par Jacobi
(Journal de C relie, t. 8) que deux intégrales de première espèce, relatives au radical portant sur un polynôme du cinquième degré,
/jr(i — T)(i — ax){\ — bx){\ — abx)^
a et b étant deux constantes arbitraires, ont seulement deux périodes (»).
Indiquons un second exemple de réduction donné par M. Hermite {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1876).
Si Ton pose
K{z) = {z^—a){%z^-'&az—b),
a et b étant deux constantes quelconques, on aura, comme le montre un calcul facile,
dx
(lax — b)(x^ — a )
en posant
iz*—-3az
On aura aussi
sjy^— Zay ~b'
(*) On trouvera quelques théorèmes généraux relatifs à la réduction du nombre des périodes dans les Mémoires suivants :
E. Picard, Sur la réduction du nombre des périodes des intégrales abéliennes {Bulletin de la Société mathématique, t. X; i883).
H. PoiNCARB, Sur la réduction des intégrales abéliennes (Bulletin de la Société mathématique, t. XII; 1884 )•
S. K0WALK8K1, Ueber die Beduction einer bestimmten Klasse abelscher Intégrale auf elliptische Intégrale {Acta mathematica^ t. IV; i884).
GoDRSAT, Sur la réduction des intégrales hyperellip tiques {Bulletin de la Société mathématique, t. XIII, i885).
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232 CHAPITRE Ylll.
en posant
3(5t-a) Il en résulte que les deux intégrales
r^ et r^
n'ont que deux périodes.
9. L'application à l'intégrale elliptique du ihéorème démontré au n° 7 est particulièrement intéressante. Soit l'intégrale elliptique de première espèce
J ^{,T — (I )(^ — b )(.r —^c){x — cl)
«, 6, c, d étant quatre quantités distinctes. Nous venons de voir que les deux périodes de cette intégrale étaient distinctes. On peut aller plus loin et montrer que leur rapport est nécessairement imaginaire. Si ce rapport était réel, il sérail incommensurable. Or à la place de a mettons l'indéterminée z\ le rapport des périodes de l'intégrale
dx
sera une fonction holomorphe <p(^)de^ dans le voisinage de >s = a: les deux périodes 2(B — D), 2(C — D) seront, en effet, fonctions bolomorphes de z puisque les intégrales B, C, D, correspondant aux lacets qui aboutissent aux racines b, c, d^ sont elles-mêmes bolomorphes, leurs éléments jouissant manifestement de cette propriété. Nous supposons que pour ^ = a, 0(5) se réduise à un nombre réel [x; or l'équation
si l'on prend \k' suffisamment voisin de [x, a au moins une racine voisine de a (*). Mais nous pouvons prendre pour [x' une quantité
(^) Mous nous appuyons ici sur le théorème fondamental relatif à la continuité des racines d'une équation, théorème qui sera démontré au chapitre suivant.
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réelle commensurable aussi rapprochée qu'on voudra de |jl et nous aurons alors une valeur de z correspondante très voisine de a et, par conséquent, distincte de &, c, d] nous serions donc ramené au tas dont nous avons démontré l'impossibilité (par. 7). Nous avons ainsi démonlré le théorème suivant qui est fort important (*) :
Le rapport des deux périodes de l'intégrale elliptique (8) est imaginaire, les quatre racines a, 6, c, d étant distinctes.
10. Arrêtons-nous un moment sur la forme canonique, dont ont fait usage Abel et Jacobi, pour l'intégrale elliptique de première espèce,
dx
et considérons le cas, particulièrement intéressant pour les applications^ où k est une constante positive inférieure à l'unité.
Nous avons dans ce cas les quatre points critiques i, t> — i,
— T- Le premier lacet sera relatif au point i et sera obtenu en.
joignant Torigine à ce point par une droite; le second lacet sera
obtenu enjoignant l'origine au point j par un segment de droite,
en évitant seulement le point i par un demi-cercle infiniment petit situé au-dessus de l'axe des quantités réelles.
Les troisième et quatrième lacets seront respectivement les symétriques des deux premiers par rapport à l'origine. On va supposer qu'on parte de l'origine avec la valeur -f- i pour le radical, nous poserons
j, r^ dx
Calculons la valeur de l'intégrale prise de o à x» le point i élanl évité comme il a été dir. Nous aurons d'abord K en allant
(*) J'ai donné, pour lu première fuis, la démonstration précédente dans mon Cours en 18S7. ■
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de o à i; il faut voir ce que deviendra le radical quand x va décrire le segment de droite f i, t j- Si nous posons
X allant de o à i, nous pourrons prendre 6 = o et faire varier p de 1 à o; p restant fixe et très petit, le point x décrira le demicercle indiqué autour du point i, si Ton fait varier 0 de o à — t,\ par suite, y/i — x doit être remplacé, quand x sera plus grand que w/i, par
^x — I e 'ou — i^x — 1 ; donc, de i à T' nous aurons l'intégrale
dx
/(ar»— i)(i — A-J:r«)
que nous désignerons par îYJy la constante K' étant comme K essentiellement positive. De o à y* nous avons donc l'intégrale
