Il est important de calculer la valeur de l'intégrale
dx
/(i — ar2)(i — A-îj-*)
Cette intégrale n'a de sens bien déterminé que si l'on fixe le chemin suivi ; nous supposerons qu'on suive l'axe réel positif, en
évitant seulement les points i et t à l'aide de deux demi-cercles
infiniment petits décrits au-dessus de l'axe réel. Nous avons d'abord
C^) K-hiK'
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INTÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. Sl35
pour le trajet de o à t* Quand x est supérieur à t' on voit, en raisonnant comme plus haut, que Télément devient
— dx
et nous aurons l'intégrale cherchée en ajoutant à l'expression (9)
l'intégrale
; f" ___àx
Or cette intégrale se calcule de suite, en faisant le changement de variable
kx =z —,
et l'on voit immédiatement que la dernière intégrale est égale à — R. Nous avons donc
r dx ^.^,
J^ v/(i-.rî)(i-/r«a7*) Pintégrale étant prise dans les conditions indiquées.
III. — Quelques théorèmes généraux sur les approximations. Théorème de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction uniforme à trois périodes.
12. Nous avons parlé dans la Section précédente de la réduction du nombre des périodes; au même ordre d'idées se rattache l'étude de la résolution approchée, au moyen de nombres entiers , de certaines équations linéaires. Cette question importante trouve des applications dans plusieurs questions d'Analyse, et doit son origine au travail de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction uniforme d'une variable à trois périodes distinctes. Il ne sera pas inutile de lui consacrer quelques pages.
13. Soient tout d'abord w, w', w" trois nombres complexes tels que l'on ne puisse satisfaire à la relation
GoogI(
avec des entiers réels m, m', m"', sans que ces entiers soient nuls. Nous allons établir que l'on peut trouver des entiers m, m', m' (non tous nuls) tels que l'on ait
I mw -H m'(i)'-h m'o)* I < g,
t étant une quantité positive donnée à l'avance, aussi petite que Ton voudra.
Soient
Nous allons montrer qu'on peut choisir les entiers m, m', m", /îow ^ott5 /iw&, tels que
I /wa -h m'a'-h m'a'l et | m6 -f- m'6'H- m'^'l
soient inférieurs à un nombre positif donné à l'avance, aussi petit que l'on voudra.
Nous suivrons un mode de démonstration, dont le principe est dû à Dirichlet, et qui a été utilisé par Kronecker dans des circonstances très générales {voir l'article cité au § 6 de ce Chapitre). Soit t un entier positif arbitraire; considérons la suite des 2i^+ I entiers
et donnons à m, m', m" des valeurs comprises dans cette suite. En les substituant dans
ma -h m'a'-f- ma!' et mh -h m'b'-\- m'b',
nous aurons (a^^+i)' systèmes de valeurs. Ces sytèmes des valeurs seront distincts; sinon, pour deux systèmes différents des m, soient [jl, [jl', [jl" etv, v', v", on aurait
fji a H- fx' a' -4- {JL'a'= va -h v'a'-4- v'a', ^h -+- fx' 6' -h jx'ô' = V 6 -f- v'6'-h v'6',
sans que l'on ait à la fois [x = v, ul'= v', [jl"= v". On en conclurait, en posant
jA — v = 'îr, jx'— v'=':t', {x'— v'=7r',
les relations impossibles
ira H- 7:'rt'-M:''a''=o, rô H- r'ô'-i- it'6'= o.
Ceci posé, considérons le rectangle ayant dans un plan, où sont tracés deux axes rectangulaires Ox et Oy, son centre à l'origine et pour côtés respectivement
2(|-a|4-|a'|-4-|a'|)^« et 2(| 6 | -f- 1 6' | -4- | 6' |)/«.
Nous partageons chaque côté de ce rectangle en t^ parties égales , et nous obtenons ainsi t^ rectangles partiels. Tous les points de coordonnées
ma -h m' a' -\- m' a' et mb -^ m' b' -h m" b'
sont situés dans le grand rectangle. Or, nous avons (2^^4-1)' points distincts de cette sorte, tandis qu'il y a seulement /* rectangles partiels. Par suite, il y a un rectangle partiel qui contient deux des points. Faisons alors les différences des x et des^ de ces deux points; ces différences seront de la forme
j)a-^p'a' -^ p'a', pb ->r p' b' -^ p" b" , Pt p'y p" n'étant pas nuls à la fois. On aura donc
|;>aH-;>'a'^/>'a'|<"'"'-^'";.'-^'"''^^' = '^-^'"'^':''"'"''^
Or t est un entier aussi grand que Ton veut, et le théorème est par suite établi.
14. Jacobi a déduit du théorème précédent qu'une fonction uniforme ne pouvait avoir plus de deux périodes distinctes. Supposons en effet qu'une fonction uniforme y*(^) n'ayant dans tout le plan que des pôles, le seul pointa l'infini étant un point singulier essentiel, ait trois périodes distinctes
(I), Ci)', to'.
On aura, quels que soient les entiers m, ni\ ni"^ /{z -h ma) -H /ii'w'h- m'to') = /(z).
Or, considérons un point déterminé, d'ailleurs quelconque, Zo.
du plan et soit
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a38 CHAPITRE VIII.
L'équation
admet la racine Zq^ et Ton peut tracer une circonférence C de centre Zq, telle que l'équation précédente admette dans ce cercle la seule racine Zq ; ceci est une conséquence de ce que l'équation
peut s'écrire
/(^)~/(«o) = o ou
la fonction ^(z) holomorphe autour de Zq étant différente de zéro pour z = Zo-
Faisons maintenant intervenir la condition que /{z) admet les trois périodes indiquées. On pourra choisir les ip, de telle sorle que
Zq -4- //icu -h m' tù' -h m" (»/
soit aussi rapproché que Ton voudra de Zq, sans coïncider avec lui.
L'équation
Az) = a
aurait donc une infinité de racines dans le voisinage de z^^ ce qui ne peut être. Cette contradiction démontre le théorème.
15. Le théorème du n** 13 peut être généralisé. Soit un tableau
de nombres réels
ai, aj, ..., ajp4-i,
^1, Oj, ..., Ôi/j-hi,
OÙ il y a 2/> H- I colonnes, et ip lignes. On suppose qu'il ne soit pas possible de satisfaire aux ip équations
mi ai -H mj aj -f- . . . -f- m^p^x ^s^h-i = o, /ni h\ -h /Tij 6î -h . . . -f- /yii/»-f-i ci\p-»r\ = o,
m\ Il -+- mi /j -h . . . -f- /njjt>-f-i ^tp-hi = o
par des entiers m qui ne soient pas tous nuls. Nous allons montrer qu'on peut choisir les entiers m de manière que les premiers
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INTÊGRALKS DE FONCTIONS NON UNIFORMF.S. 2^^
membres des équations précédentes soient en valeur absolue moindres qu'un nombre donné, si petit qu'il soit (*).
On peut reprendre le mode de démonstration du paragraphe 13. Donnons aux m les valeurs
— /*/*, ..., o, I, -2, ..., t^P (^ entier positif)
en nombre 2/^^4-1. Nous aurons ainsi des systèmes d'expressions
niili -h ... -H fn^fH-i l%p-hi en nombre
Ces systèmes seront distincts, car autrement, pour certaines valeurs de /n, les expressious seraient nulles à la fois. Partageons maintenant les 2p intervalles
en t^P"^* parties égales. On aura dans l'espace à 2p dimensions un grand /?5^i/rfo-parallélépipède dont les 2p dimensions seront les intervalles (I) dans le sens de chaque axe de coordonnées, le centre de parallélépipède étant à l'origine. Après la division, on aura partagé le parallélépipède en
itp{tp-hi)
parallélépipèdes élémentaires. Ce nombre est moindre que le
nombre
{•it^p-hi)*p-*-^
des systèmes d'expressions écrits plus haut. Deux points de i^espace à 2/> dimensions correspondant à deux systèmes d'expres-
/ ' ) Ce théorème a été démontré pour la première fois par M. Hermite dans sa anatriètnc letire à Jacobi Sur différents objets de la théorie des nombres (OpitsculcL Mathematica de Jacobi, t. II et Journal de Crelle, t. 40). M. Hermite otil>s^*^> dans sa démonstration, ses théorèmes généraux sur la réduction ri tfam^ tique des formes quadratiques définies.
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2^0 CHAPITRE YlII.
sions seront dans le parallélépipède élémentaire. On en conclul que, pour cerlaines valeurs des entiers [a (non toutes nulles), on a
\ l^l^i-h IXiOt-h . . .-^ llip^t^^tp+l I < — ^ ^ ! f y
I H^l ^1 -+- f^2 ^J -^ • . • -^ [J-tp-hl Up-hl I
Donc^ t étant aussi grand qu^on voudra, on en conclut le théorème énoncé.
De ce théorème peut se conclure facilement qu*i7 ne peut exister de fonction uniforme de p variables ayant plus de ip périodes simultanées, proposition(*)qui généralise celle de Jacobi, mais nous ne pouvons pour le moment insister sur ce point, qui concerne la théorie des fonctions de plusieurs variables.
16. Le mode de démonstration dont nous venons de faire usage peut être utilisé dans diverses questions d'approximation numérique. Donnons-en encore un exemple intéressant, quoiqu'il ne se rattache pas direclemenl à l'objet de ce Chapitre.
Soit d'abord a un nombre positif incommensurable. Considérons
l'expression
où nous donnons à^ successivement les valeurs entières o, I, x^ ..., t (/ entier positil).
t)n peut évidemment choisir, pour une valeur donnée de y, Tenlier x de telle sorte que l'on ait
Or, partageons l'intervalle (o, i)en r parties égales; nous obtenons ainsi t intervalles partiels. Les t H- i valeurs trouvées pour X — ay seront donc telles qu'il y en aura deux dans l'un de ces
(') Celle proposition a été indiquée par M. Hermite dans une des lettres à Jacobi cilées plus haut.
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intervalles partiels. La différence de ces deux valeurs, soit m — a/i, sera donc moindre en valeur absolue que -•
On a donc des entiers m et /?, non nuls tous deux, tels que
an\< y
On a d'ailleurs /? < ^, par suite
nt
c'est le résultat auquel conduit la théorie des fractions continues. Ces considérations sont susceptibles de généralisation. Soient a et b deux nombres qui ne sont pas tous deux commensuiables. Donnons à l'entier positifs successivement les valeurs
o, 1, 2, ..., <» ( ^ entier positif ),
et associons-lui les entiers x ely tels que
0 < JT — a^ < I , o<y — ùz < I.
On obtient ainsi r-+i systèmes de valeurs x — az et y — bz. Marquons sur plan aux axes OÇ, Ot^ les points de coordonnées
i = x-^az, r,=:j—ùz.
Si nous partageons les intervalles (o, i) sur l'axe des ç et sur l'axe de 7| en t parties égales, le carré construit sur ces deux longueurs se trouve partagé en t'^ carrés partiels. On aura donc deux points ($, 7j) dans un même carré. On peut donc trouver des valeurs entières ui, v, m telles que
1 ji — am I < > |v 6//i|<i;
en y joignant l'inégalité m <C ^^, on voit que l'on aura
m yjm
