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2^2 CHAPITRE YIII.
Ainsi étant donnés deux nombres a et 6, on peut les représenter
par deux fractions — et ~ de même dénominateur m, Terreur ^ ni m
étant moindre que
Si au lieu de deux nombres on avait k nombres
on pourrait les représenter par les fractions de même dénominateur ,
Terreur étant moindre que
Ay— -
ni ^i
On le voit, par un raisonnement analogue, qu'il est inutile de développer.
Ces résultais ont été obtenus par M. Hermite dans les lettres à Jacobi déjà citées, au moyen d'une analyse, d*ailleurs tout autre, se rattachant à la théorie arithmétique des formes quadratiques.
§ IV. Exemple de fonction non uniforme représentée par des intégrales. Série hypergéométrique. Rapport des périodes de Tinté grale elliptique comme fonction du module.
17. Nous allons nous arrêter sur un exemple très intéressant de fonction non uniforme représentée par une intégrale définie. En
posant
nous considérons les intégrales définies
Uo = / ^(w) du,
U« = / o(u)dUj
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I/o désigne une constante distincte de o et i. Pour une valeur déterminée de x^ ces intégrales ont un sens parfaitement déter-
Fig. 25.
miné, si l'on a fixé le chemin allanf de u^ aux points o, i et oo, et si, bien entendu, on a
Marquons sur le plan des ;/ le point Uç^ et les points o, i, j? (/'o • ^5) et traçons les lignes
MqO, Mo^î "o'j Mo^î
ces lignes se suivant autour de u^ dans l'ordre qui vient d'être indiqué. Introduisons encore l'intégrale
Les U peuvent être considérés comme des fonctions de x : les différences
sont donc des fonctions de x. Ce sont ces fonctions de x que nous voulons étudier; elles ont été envisagées par Gauss dans un Mémoire célèbre (*), et nous aurons à revenir sur l'équation différentielle linéaire du second ordre à laquelle elles satisfont. Nous voulons les regarder en ce moment comme des Jonctions
(1) Gauss, Œuvres complètes, t. TH.
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non uniformes de x^ et chercher quelle est la nature de leurs déterminations multiples ( * ).
18. Tout d'abord, considérons dans le plan les lignes UqO^ Uq\^ UqCO comme des coupures, c'est-à-dire que nous astreignons, pour le moment, :r à ne pas franchir ces lignes : les U sont alors des fonctions bien déterminées de x. On suppose que Ton ait choisi, une fois pour toutes, une détermination pour
Mî(»o-iy'("o-^)\
et l'on n'a pas à changer cette détermination une fois choisie, puisque x ne tourne pas autour de Uq s'il ne franchit pas les coupures. Ajoutons encore que, quelle que soit la position du point x, la ligne UqX part toujours de «o en étant comprise dans l'angle 1 Uqo; c'est moyennant ces conditions que nous pouvons dire que les U sont des fonctions uniformes de x.
On trouve de suite une relation entre les U : en eflet, en intégrant le long du contour formé par les coupures considérées comme lignes doubles, on obtient la relation
Les facteurs exponentiels proviennent des rotations sur des cercles infiniment petits décrits autour des points critiques. Pour le point à Tinfini, comme nous Tavons déjà expliqué, un tel cercle est remplacé par un cercle de rayon infiniment grand.
Ceci posé, nous voulons chercher quelles relations il y a entre les valeurs des fonctions coi et tù2 quand le point x est d'abord sur le bord gauche de la coupure ^oO et ensuite sur le bord droit de cette même coupure. Désignons par
^o> ^xi l^n ^«,
. (^) Cette recherche a été faite d'abord par M. Schiâffli (Afathemat. Ann.ilen, t. III), et, dans sa remarqable Thèse {Annales de l'École Normale, iSSi), M. Coursât a fait l'étude approfondie des relations qui existent entre ces difiérentes intégrales. La méthode suivie dans le texte est celle que j'ai indiquée dans le Bulletin des Sciences mathématiques (i885).
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les valeurs de U quand x est en x^ sur le bord droit de la coupure. On doit considérer que :r et ^' sont deux points géométri-
quement confondus : l'un est sur le bord gauche, l'autre sur le droit {^fig* 2i6). On aura évidemment *
le passage de j? à x^ n'a aucune influence sur la valeur de ces intégrales. Il en est autrement pour Uo et U^ et le point essentiel est de trouver 0^ en fonction des U ; or on y parvient de suile par le raisonnement suivant. On a
Uo=U^-4-(Uo-Ux).
Quand j: passe en x\ tous les éléments de l'intégrale U© — Uj. sont multipliés par e~^'^^, puisque (^u — x^ se trouve multiplié par e~2'^^, le point u étant à Tinlérieur du contour .que décrit x dans un sens supposé négatif. On a donc
Ce point bien compris, il n'y a plus aucune difficulté. L'équation (lo) et l'équation analogue relative aux U' nous donnent par soustraction
X-*es équations écrites nous permettent d'avoir les U' en fonction des U et, par conséquent, en posant
Oi;= L', -U'o et wi= \ 'j,— y\,
les valeurs des o)' en fonction des o>. On trouve ainsi
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Nous pouvons maintenant énoncer sous une forme un peu différente le résultat que nous venons d^obtenir. Concevons que l'on supprime la coupure ^/qO, et que x^ partant d'un point d'ailleurs arbitraire, revienne en ce point après avoir tourné une fois autour de o dans le sens négatif; coi et iù^ ne reviennent pas au point de départ avec les mêmes valeurs, mais avec des valeurs iii\ et co^ liées à Wi et Wj par les formules (S,). On peut dire {]\\à une circulation autour du point zéro correspond la substitution (S,).
La même méthode nous donne, sans presque y rien changer, la substitution qui correspond à une circulation autour du point un. Pour la trouver, nous supposerons cette fois le point x d'abord
sur le bord droit de la coupure u^i et ensuite sur le bord gauche de cette même coupure {fi g. 27). Désignons par
II" II" n* V
les valeurs des U quand x est en x" sur le bord gauche de la coupure. Nous aurons
et l'on a, en opérant comme plus haut,
équations d'où nous tirons
en posant
toi = ^"x- ^\. ^\ = Ui- ^"i-
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La substitution S2 correspond à une circulation autour du point I .
19. Nous venons de voir commenl se modiGent (i>| et (02 quand la variable x tourne autour du point zéro et autour du point un. Pour la substitution S| la circulation correspond à une circulation dans le sens négatif, et S2 est relatif au sens positif. Les substitutions inverses de S| et S2 donneront manifestement les nouvelles valeurs de la fonction pour des circulations respectivement de sens contraires.
Les substitutions (S|) et (S2) permettent de trouver toutes les valeurs possibles de la fonction. En effet, les fonctions w, et (1)2 n'ont d'autres points singuliers que les points zéro et un. Pour le voir bien nettement, remarquons que Uo, Ui, U, ont pour points singuliers à distance finie
a: = o, vT = I , X — Uqj
car si l'on considère tout autre point ^Tq et si l'on suppose, comme il est permis, que les coupures ne passent pas par ce point, les intégrales Uo, Ui, U« seront des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de Xq comme la fonction sous le signe somme
\]x s'exprimant linéairement en fonction de Uo, U|, U„ aura les mêmes points singuliers x = 0^ a; = i , x =z Uq. Revenons maintenant aux différences (1)4 et (1)2, elles n'admettront pas u^ comme point singulier; elles ne dépendent pas, en effet, de a©, puisqu'on peut écrire
a)i= / <f(u)duy a)j= / o(u)du.
ces intégrales étant prises, suivant la détermination que l'on considère, le long d'un chemiu ou d'un autre allant respectivement de o à jr et de i à X : elles se trouvent, par suite, définies indépendamment de Uo- Il n'y a donc pas de troisième point singulier à distance finie.
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24^ CHAIMTRB YIII.
Les fonctions iù^et iù^ de la variable x sont des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de tout point, sauf pour X = o, a? = I et x=^(x>.
11 en résulte que coi el tù^ désignant un système de déterminations de ces fonctions en un point arbitraire x^ on obtiendra tous les autres en efTectuant sur coi et (O2 les substitutions
s*sPsf S§'...,
les a et P étant des entiers positifs ou négatifs (^voir t. I, p. 464? pour les définitions relatives aux substitutions).
20. Parmi les différences d'intégrales du type de celles que nous venons de considérer, il en est une conduisant à un développement en série très remarquable; c'est la différence U, — U| ou
f=f u'^iu- i)^(u — x)>'du.
Supposons que l'on intègre de i à 00, en suivant la partie positive de l'axe réel el que | :r | < i .
Posons, pour avoir les notations de Gauss,
Les inégalités, supposées remplies pour que l'intégrale ait un sens, sont Y > |3, ^ > o.
Nous allons dévelop|)er l'intégrale y en série; on peut écrire
or, puisque | «/ 1 > 1 et | x | < i ; on a
X a(a -h I). . .(a -H/> — i) tp
u i.-2...y> uP
f se trouve donc développé en série entière, et le terme général est
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Parlons de l'idenlilé
= (V -*-p — i)u-y-p(u — i)Y-P-i-h(— /?— ? H- i)u-y-p-^^(u - i)ï-?-S ce qui donne, en intégrant,
Jr U-r-P (t€—l )Y-P-Ï é/w = ^-^.^ L r M -Y-^-Hl f M — I )Y-P-1 ^M,
et enfin
/* w-Y P(u -i)y-?-^ du
