Examinons en particulier le cas où

La sifi^nîfîcâ^îûn de (i>| et co^ est alors remarquable; ce sont deux demi-périodes distinctes de l'intégrale elliptique •

du

^u{u -\){h—x) Nous oonsidérons ici ces périodes comme fonctions de x. Les

GoogI(

subslLlutions S| et S2 du § 18 sont alors

iû\ = (1)1-+- awj,

W j = CDj.

' On aura donc toutes Jes déterminations possibles de a>i et «Oj en combinant les substitutions S| et Sa et leurs puissances. Ces déterminations seront de la forme

/?lCOi-î- /l(02,

m, n, /?, q désignant des entiers, et l'on aura, comme pour les substitutions composantes,

mq — np — \.

Or nous avons \u (§ 13) que le rapport

X étant différent de zéro et un, ne peut devenir égal à un nombre réel ou, en d'autres termes, que le coefficient de i{i=::s^/ — i\ dans ce rapport garde un signe invariable, puisqu'il ne peut pas s'annuler. Ce résultat est relatif aux déterminations de tOf et o>2 entendues telles que nous les avons considérées d'abord au § 18, c'est-à-dire en supposant que x ne franchisse pas les coupures primitivement tracées dans le plan; mais il subsiste quand on a levé toute restriction, car alors le rapport précédent a pour valeur

wtot -h rni)f

{ma — np = i),

ptUi-*- qoit

et, dans ce rapport, le signe du coefficient de i est le même que dans —•

En résumé, le rapport

est une fonction analytique de x n ayant d'autre point sin-

GoogI(

INTÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. S|5j

giilier que x=^o^ x=i, et :r = oo. Quel que soit le chemin suivi par la variable^ le coefficient de i garde un signe invariable.

AjoulODs encore que v sera une fonction holomorphe de x pour loute valeur distincte des points critiques, car, si v devenait infini, c'est qu'on aurait

/?ti)i-h ^a>i= o,"

et nous savons qu'une telle relation e^t impossible; pour la même raison, v ne peut s'annuler.

22. On peut se servir de la fonction v(^) pour établir le premier théorème que j'ai donné autrefois sur les fonctions entières (*).

Désignons d'une manière générale par G(5) une fonction entière, c'est-à-dire une fonction holomorphe dans tout le plan. Il peut arriver qu'une telle fonction ne puisse, pour aucune valeur finie de z^ prendre une certaine valeur finie a. L'expression ef^^)^a, où /(z) est une fonction entière, ne devient jamais égale à a. La circonstance qui se présente à l'égard de a peutelle se présenter pour une autre grandeur 6? Peut-il, en d'autres termes, arriver que les équations

n'aient pas de racines? Nous allons montrer (\xx' une fonction entière G{z) qui ne deviendrait jamais égale niàa^ ni à 6, serait nécessairement une constante.

On peut tout d'abord supposer que a = o et 6 = i ; considérons, en effet, la fonction . "~"^; elle ne deviendra, d'après nos hypothèses, jamais égale ni à zéro, ni à l'unité. Nous allons donc raisonner sur une fonction G(^)ne devenant égale ni à zéro ni à un.

Posons X = (j{z); la fonction y{z) du paragraphe précédent de viendra une fonction de z que nous allons étudier. A une valeur Xq de X correspondent une infinité de déterminations de v; choisissons l'une d'elles Vq, soit, pour z = Zq, Xq= G(zo) : ladétermi-

(•) Mémoire sur les fonctions entières {Annales de l'École Normale, i88o).

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QD2 CHAPITRE YllI.

nation de la fonction

est alors définie pour z = Zq. Supposons que z décrive un chemin quelconque C partant de Zq et y revenant, x décrit alors dans son plan une courbe fermée partant de Xq et revenant à ce point. Pour le cas où cette courbe se couperait elle-même, désignons par G le contour extérieijr de Taire qu'elle limite. La courbe C ne comprend à son intérieur ni le point zéro ni le point un. Déformons en eflet la courbe C sans cesser de la faire passer en z^ ; nous pouvons la réduire à ce point. Il est clair que, par ces déformations continues de C, nous réduirons G au point Xq sans qu'elle traverse jamais aucun des points o et i, puisque, par hypothèse, G{z) ne prend jamais ces valeurs. Il résulte de là que la fonction v[G(z)] reprendra en Zq sa valeur initiale V0 quand z reviendra en Zq après avoir décrit la courbe C. De là se conclut bien aisément que cette fonction est une fonction uniforme de z dans tout le plan. Considérons, en effet, deux chemins ZoCtZi, z^bz^ allant de Zq à un point quelconque Zi du plan. Soit v, la valeur qu'acquiert v quand on suit le chemin z^az^ ; en continuant suivant Zybz^j on ramène la* valeur initiale Vo. Si maintenant on rétrograde suivant Zf^bz^^ la fonction repassera par la même valeur en chaque point et, par conséquent, elle acquerra en z^ la valeur Vq oblenue précédemment. Nous arrivons donc à la conclusion que la fonction

est une fonction uniforme dans tout le plan; comme elle reste d'ailleurs toujours finie, &est une fonction entière.

C'est ici qu'une impossibilité va apparaître. On se rappelle que dans V le coefficient de i a un signe invariable; nous pouvons le supposer positif, puisque autrement on raisonnerait sur — v. Nous avons donc une fonction entière f{z) dans laquelle le coefficient de i est positif. Je dis que /(s) ne peut être qu'une constante. Envisageons, en effet, la fonction

c'est une fonction entière dont le module est e""^, si l'on pose /(i;) = X + «Y; mais, puisque Y > o, le module de e'/^*^ sera toujours moindre que un. Il en résulte, d'après le théorème de

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Lîouville, que e'/^*^ et, par suite, f{z) doivent se réduire à des constantes. Notre fonction v[G(^)] se réduisant à une constante, G (5) devra elle-même être constante, puisque v(^) est une véritable fonction de x. Le théorème est donc démontré.

23. Au lieu d'une fonction entière, considérons maintenant une fonction uniforme f{z) n'ayant dans toute l'étendue du plan que des pôles. Je dis qu'i//?e peut y avoir plus de deux valeurs Jinies a et b que ne puisse prendre une telle fonction pour une valeur finie de la variable.

Nous avons vu, comme conséquence de la théorie des facteurs primaires, que Ton peut mettre f{z) sous la forme

G| et G 2 étant deux fonctions entières n'ayant pas de racine commune. Cherchons d'abord l'expression d'une fonction /(s) ne devenant égale mk a ïï\ k b. Dans ce cas,

ne pourra s'annuler pour aucune valeur de z. On aura, par suite,

Gi(5) — aGj(;;) = <?P'-), P(3) étant une fonction entière. De même, on aura

Q(w) étant une fonction entière. De ces relations se tirent G, et G2 et l'on peut écrire

C\iZ, gl'lï)

Nous allons voir maintenant que cette fonction peut prendre une valeur finie quelconque c différente de a et b. L'équation

peut, en effet, s'écrire

gQ(5)-P(*,- li r.

a — c La constante du second membre n'est ni nulle ni infinie. Or l'é-

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254 CHAPITRE YIII. — I>TÉG]tALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES.

qualîon

a certainement une infinité de racines, car il ne peut y avoir, d'après le paragraphe précédent, plus d'une valeur finie que ne puisse prendre la fonction entière Q{z) — P(^); ^>r le logaritlime a une infinité de déterminations, de sorte que, si pour une de ces déterminations l'équation n'avait pas de racines, elle en aurait certainement pour les autres. Ce raisonnement suppose que Q(2) — P(^) ne se réduise pas à une constante, mais on voit immédiatement dans ce cas que f{z) serait elle-même une constante.

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DES PONCTIONS DE PLISI8LRS TARIABLRS INDEPENDANTES. 255

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

I. — Généralités sur les fonctions de plusieurs variables complexes.

1. Nous avons, jusqu'ici, considéré seulement des fonctions analytiques d'une variable complexe; on peut de même envisager des fonctions de plusieurs variables complexes. Il s'en faut de beaucoup que la théorie des fonctions de plusieurs variables soit aussi avancée que celle d'une variable. Dans les généralités qui vont suivre, la plupart des résultats seront applicables à un nombre quelconque de variables, du moins avec des modifications insignifiantes : nous simplifierons l'écriture et l'exposition en nous bornant à deux.

2. Soit /(w, i') une fonction analytique des deux variables complexes u et V. Posons

on a, par définition,

/(a, i^) = V{x, y, z, t) -4- iQ(ar,7, 5, 0, P et Q étant des fonctions réelles des quatre variables réelles Xjy^

GoogI(

j3, t. On aura manifestement entre P et Q les quatre relations

dV

àq

dx

dP

dQ

ôy —

dP

dQ

dz -

di'

dP

dq

dt

Cherchons à quelles équations satisfera la fonction P. En groupant de toutes les manières possibles ces équations deux à deux, on obtient par deux difierentiations convenables une relation à laquelle satisfait P. Les deux premières donnent

la première et la troisième

Ox dt dz dy

puis ensuite

dxdz ~ dtdy

dy dt ~~ dz dx

ôf dz ~ dt dx

d^P d^P Oz^-^ dt^ =^

On voit que ces six équations se réduisent à quatre. La fonction P(:r, y^ Zj t) satisfait donc aux quatre équations

dx^ "^ dy^ ■" ^* dx dt dz dy " ^'

dxdz dtdy ' ds« dt^

Réciproquement, d^ailleurs, si Ton a une fonction P satisfaisant à ces quatre équations, on pourra trouver une fonction Q(.r, j-, z^ ()

GoogI(

DBS FONCTIONS D£ PLUSIKURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 2^7

vérifiant les équations (E), puisque les conditions trouvées expriment précisément les conditions nécessaires et suffisantes pour que Ton puisse obtenir une telle fonction Q(^,^, s, t)-

On voit de suite la différence profonde qui doit séparer la théorie des fonctions de deux variables de celle d'une variable. Dans celle-ci, la partie réelle P doit satisfaire à Tunique équation de Laplace; dans celle-là, au contraire, nous trouvons quatre équations pour cette seule partie réelle P. Il ne semble guère possible d'étudier ce sjrstème de quatre équations comme on a étudié l'équation de Laplace; aussi devrons-nous ici considérer la fonction P-h /Q dans son ensemble sans étudier séparément P et Q.

3. La série de Tajlor s'étend immédiatement aux cas de deux variables. Soit une fonction analytique /(^,y) des deux variables complexes ^ et^; cette fonction est supposée uniforme et continue quand le point x est à l'intérieur d'un cercle C ayant Xo pour centre et r pour rayon, et le point ^ dans un cercle C de centre j^q et de rayon r.

Nous n'avons qu'à répéter la démonstration faite pour le cas des variables réelles. Supposons que les points Xq-^ h et ^o +- ^' soient à l'intérieur des deux cercles que nous venons de définir; on pose

/{x.y) peut être regardée comme une fonction de la variable complexe /, uniforme et continue à l'intérieur du cercle ayant l'origine pour centre et l'unité pour rayon, puisque, quand t reste dans cette région, le point {x^y) reste à l'intérieur des cercles C et C. On doit même remarquer que la fonction de f, que représente y(j?,jK)» sera uniforme et contenue dans un cercle de rayon supérieur à i; nous pourrons donc faire, sans incertitude, f = 1, dans le développement que nous allons obtenir. Ce développement n'est autre chose que le développement de Taylor, pour la fonction de t

/{xq-^ ht, yQ-\-kt)\ on a donc

" = - t'lh4ir^ \ ôx

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a58 CHAPITRE IX.

où, comme on sait, TexpressioD \^aZ.^ ^4-} ^sl symbolique,

les puissances devant être remplacées par les dérivées. On a alorà pour tr=z I

entièrement analogue, comme forme, à ce qui a été vu dans la théorie élémentaire des fonctions de deux variables réelles.

4. Dans le développement précédent, le coefficient de hPhi est

/ ànf

1,1. ..p, 1.1,, .g \àxP*dy<i ) x..y

Il est très intéressant d^avoir une limite supérieure du module de ce coefficient. Cette limite peut être obtenue en fonction du module maximum M de la fonction f{x^ y) à l'intérieur des cercles C et C.

Considérons d'abord la fonction f{x^y) comme fonction de la seule variable x, nous aurons, diaprés une formule établie antérieurement (Chap. V, § 8),

\dxPjx^x. ir.rP J^ -^^ ° '-^^

Prenons maintenant la dérivée ^**">« des deux membres par rapport à^ et faisons j'=^o- Nous devons différenlier g fois sous le signe d'intégration par rapport à jK) or, en appliquant la même formule, on a

Il vient donc finalement

\dxP df^r J jr=x, ntrP.nzrV J^ J^ -" ' -^

De cette formule se tire de'suite la limite cherchée : en remplaçant par M le coefficient de d^d^' sous le signe d'intégration,

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DES FONGT1024S DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. SÔg

on a une limite de module et, par conséquent,

5. Si les cercles C et G ont pour centres l'origine, on a, en faisant ;ro=jo=o et h = x, k=zy^ le développement de Maclaurin

" = - (ar/- -+-7/ )«-o

(I) A^.y)=2à " — i.a..>/i — =2rfV'/^''.r^-

Le coefficient A^^^ de xPy^ est, d'après ce que nous avons dit

plus haut,

I / dp-^^f \